ВВЕДЕНИЕ

Высшая алгебра изучает множества и определенные на них операции. Она занимает центральное место в современной математике. Велика также роль алгебры в приложениях. Этот реферат посвящен краткому введению в теорию основных алгебраических систем: групп, колец, полей. Следует также обратить внимание на построение конечных полей. Эти удивительные объекты, возникающие из чисто алгебраического рассмотрения, играют большую роль в современной комбинаторике и информатике. Наиболее важным, примером использования конечных полей для решения комбинаторной задачи прикладного характера, является теории кодов, исправляющих ошибки. Появились эти коды в середине прошлого века, когда для передачи секретных сообщений (скажем, приказов в войска) стала активно использоваться радиосвязь. Сообщения нужно было шифровать, а из-за помех при передаче возможны ошибки, которые могут сделать расшифровку невозможной или бессмысленной (или того хуже: осмысленной, но ошибочной). Чтобы повысить надежность сообщения, можно передать каждый символ несколько раз. Скажем, если при передаче азбукой Морзе передавать каждую точку трижды и каждое тире трижды, то одна ошибка в передаче символа не мешает восстановлению исходного сообщения. Но при таком способе кодирования передаваемых символов длина сообщения (и время передачи) увеличивается в три раза. Естественно возникает вопрос: как кодировать сообщение, чтобы сохранилась устойчивость к ошибкам и не сильно возрастала длина сообщения. Это и есть задача о построении кодов, исправляющих ошибки. Сравнительно легко можно показать, что существуют хорошие коды, в которых нужно использовать немного дополнительных символов. Но для практических нужд одной теоремы существования мало: нужны явные конструкции кодов. Кроме того, естественным практическим требованием является простота декодирования передаваемых сообщений. Удивительно, но вся теория построения хороших кодов оказывается тесно связанной с алгеброй. Изучив лишь самые основы этой науки, мы сможем построить только простейшие коды такого типа. Они, впрочем, оказываются весьма важными с практической точки зрения благодаря эффективным алгоритмам декодирования. Этот пример использования алгебры является весьма показательным. Очень часто в комбинаторике встречается именно такая ситуация: можно сравнительно легко доказать, что объ екты с некоторыми свойствами существуют (иногда даже, что почти все объекты удовлетворяют нужному свойству), но явно предъявить хотя бы один такой объект намного сложнее. И в очень многих случаях явные конструкции возникают из алгебры.