2. КВАДРАТНЫЕ МАТРИЦЫ

Элементы квадратной матрицы называются диагональными; эти элементы расположены на главной диагонали марицы. Квадратная матрица, у которо все элементы, не лежащие на главной диагонали, равны 0, т.е. матрица вида

называется диагональной и обозначается . Если в диагональной матрице все элементы , то матрица называется единичной и обозначается E или I (соответственно ):

Для любой матрицы A размера справедливы равенства

Каждой квадратной матрице можно поствить в соответствиечисло (элемент поля K), называемое ее определителем или детерминантом.

Определителем второго порядка матрицы называется число, определяемое по правилу:

== - , (1)

т. е. определитель второго порядка есть число, равное произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Пример 7.

Необходимо помнить, круглые или квадратные скобки используют для обозначеня матриц, а вертикальные линии используются для обозначения определителя. Матрица это таблица чисел, а определитель это число.

Рассмотрим определитель третьего порядка: определителем третьего порядка квадратной матрицы называется число

Д == det A= =

=++- - - , (2)

т. е. каждое слагаемое в формуле есть произведение элементов определителя, взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца. удобно использовать правило треугольников (правило Саррюса):

Пример 8. Найти определитель

==

==

=.

Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю; в противном случае матрицу называют вырожденной. Для любой невырожденной матрицы A существует единственная обратная матрица определяемая равенством Обратная матрица перестановочна с исходной : Верна формула .