1.1 Поняття про алгебраічний метод у геометрії побудов циркулем і лінійкою

У задачах на побудову серед даних елементів можуть бути деякі відрізки, кути, співвідношення відрізків. Виявляється, що усі дані елементи можна виразити тільки відрізками. Наприклад, кут можна задати трьома відрізками -- сторонами трикутника, один з кутів якого дорівнює даному.

Дані відрізки і їх довжини будемо позначати першими літерами англійського алфавіту a, b, c, d, e, m, n, а невідомі Ї x, y, z, u, v. За допомогою деяких співвідношень невідомі відрізки можна виразити через дані як певні функції даних: .

Користуючись цими формулами, можна побудувати шукані відрізки певними інструментами, а, отже, розвязати задачу на побудову.

Побудова відрізків, виражених формулами через дані відрізки, циркулем і лінійкою зводиться до таких простіших основних формул, відомих з шкільного курсу математики:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)

Питання про можливість зведення формули, що виражає шуканий відрізок через дані, звязане з поняттям однорідності формули, однорідності многочлена. Нагадаємо, що виміром або степенем цілого раціонального одночлена називається сума показників букв, які до нього входять. Якщо всі члени многочлена мають один і той же вимір, то такий многочлен називається однорідним, а показник степеня -- виміром або степенем однорідності многочлена.

Можна довести, що циркулем і лінійкою можна побудувати тільки відрізки, виражені через дані відрізки однорідними виразами першого виміру. Такими є названі десять основних формул. Однорідні вирази не першого виміру циркулем і лінійкою безпосередньо побудувати не можна, але їх можна звести до першого виміру за допомогою одиничного відрізка, взятого у відповідному степені.

Так, відрізки , , безпосередньо побудувати не можна, але вибравши якийсь відрізок е за одиничний, можна вирази в правій частині звести до першого виміру, взявши відповідно