Алгебраїчний метод розв’язку геометричних задач

курсовая работа

1.2.4) Характеристична властивість функції, що визначає довжину того самого відрізка при будь-якому виборі одиниці виміру

Усі вирази розглянуті в пунктах 1.2.1, 1.2.2 і 1.2.3, є однорідними функціями 1-го виміру від вхідних у них довжин відрізків. При побудові цих виразів ми не цікавилися питанням, якою одиницею довжини вимірювались дані відрізки. Так як можна показати, що у кожнім з розглянутих випадків при будь-якому виборі одиниці виміру ми одержали б той самий відрізок.

Однак не усяка функція у= f (а, b,...,l) визначає довжину того самого відрізка при будь-якому виборі одиниці виміру.

Розяснимо це на прикладах:

Нехай -- даний відрізок. Розглянемо дві функції:

1)Y = 2a (1)

2) у= а2 (2)

Для визначеності припустимо, що відрізок, містить 4 дм. Перша з розглянутих функцій -- однорідна 1-го виміру, а друга -- однорідна 2-го виміру.

Розглянемо спочатку 1-ю функцію. Приймемо за одиницю 1 дм. Тоді, а=4, Y=8. Отже, Y -- відрізок, що містить 8 дм. Чи одержимо ми більший або менший відрізок, якщо приймемо як одиничний відрізок не 1 дм, а інший відрізок? Нехай одиничний відрізок дорівнює 1 см. Тоді, а=40, Y=80, тобто -- відрізок, що містить 80 см або 8 дм. Отже, в другому випадку ми одержали такий же відрізок Y, як і в першому. Можна показати, що такий же відрізок Y ми одержали б і при всякому іншому виборі одиничного відрізка.

Перейдемо тепер до розгляду 2-ої функції: у=а2 (яка не є однорідної 1-го виміру). Якщо приймемо за одиничний відрізок 1 дм, то а=4 і y=16, тобто відрізок повинний містити 16 дм. Якщо прийняти за одиничний відрізок 1см, то а=40, у=1600, тобто відрізок повинний містити 1600 см, або 160 дм. Таким чином, відрізок, що ми одержуємо в другому випадку, у 10 разів більше відрізка, отриманого в першому випадку, так що функція (2) визначає не рівні між собою відрізки при різному виборі одиничного відрізка.

Число у=а2 можна розглядати як ординату точки, що має абсцису а, що належить параболі у=х2. Аналогічно можна показати Y(Y=2a) як ординату точки, що лежить на прямій Y=2х.

Ми бачили, що відрізок , де у=а2,, залежить від вибору одиниці виміру, у той час як відрізок для якого, Y=2a не залежить від цього. Це розходження виявляється в тому, що графік функції Y=2х. (рис.4, рис.5) не зміниться, якщо змінити одиницю масштабу, а графік функції Y=х2 у результаті цього зміниться.

Виникає питання: якими властивостями повинна володіти додатна функція у= f (a, b, с, ..., l)(a, b, c.....l -- довжини даних відрізків) для того, щоб вона при будь-якому виборі одиниці виміру визначала довжину того самого відрізка?

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Виявляється, що це буде мати місце тоді і тільки тоді, коли f (a, b, с, ..., l) -- однорідна функція 1-го виміру від своїх аргументів.

Саме в силу властивості при побудові однорідних виразів 1-го виміру немає потреби вказувати, крім даних відрізках, ще й одиничний відрізок: при будь-якому виборі одиничного відрізка в результаті побудови буде отриманий той самий відрізок.

Делись добром ;)