Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей

реферат

1. Основные понятия и определения

В данном параграфе мы рассмотрим основные понятия и определения, которые нам понадобятся для дальнейшей работы.

Определение 1. Множество - это совокупность, собрание, набор некоторых объектов по какому - либо общему для них признаку.

Определение 2. Натуральные числа N - это целые положительные числа 1, 2, 3, 4, 5,…

Определение 3. Целые числа Z - это числа 0, +1, +2, +3, +4, +5…:

Z = N -N {0}

Определение 4. Рациональные числа Q - это числа представимые обычными дробями в виде , где m є Z , n є N (или конечными, или бесконечными периодичными дробными).

Определение 5. Иррациональные числа I - это числа, представимые бесконечными непериодическими десятичными дробями и непредставимые в виде .

Определение 6. Вещественные (действительные) числа R - объединение множества рациональных и иррациональных чисел.

R=Q I

Определения 7. Неравенство - соотношение между величинами, показывающее, что одна величина больше или меньше другой.

Например: ,

Известно, что все неравенства подчиняются определенным свойствам, таким как:

а) a<b, b<ca<c

b) ab, baa=b

c) ab a+cb+c

d) a0 -a0

Определения 8. Доказать неравенство - установить истинность неравенства.

Неравенства бывают разными: с одной, двумя и более переменными, со степенями. Ля каждого неравенства существует свой способ доказательств. Мы рассмотрим еще один способ: через одномонотонные последовательности.

Определение 9. Следствие - из двух неравенств одно является следствием другого, если область истинности второго неравенства содержит в себе область истинности первого неравенства.

Обозначение: f1(x)>f2(x)ц1(x)>ц2(x) - второе неравенство - следствие первого.

Определение 10. Два неравенства называются равносильными, если каждое из них является следствием другого. Иначе это можно сформулировать так: два неравенства считаются равносильными, если их множества значений переменных, для которых они истинны, совпадают.

Обозначаются равносильные неравенства: f1(x)>f2(x)ц1(x)>ц2(x)

Эти определения аналогичны соответствующим определениям для уравнений. Как и для уравнений, можно сформулировать утверждения о действиях, преобразующих данное неравенство в равносильное ему. Такими действиями могут быть:

- прибавление к обеим частям неравенства одного слагаемого;

- перенос слагаемого с противоположным знаком из одной части неравенства в другую;

- умножение обеих частей на положительное число или положительную функцию и т.д.

Следует, однако, производя эти действия, следить, чтобы не изменилась область допустимых значений, так как иначе будет нарушена равносильность этих неравенств.

Определение 11. Метода математической индукции - метод доказательства неравенств, путем схожести доказательств от самого легкого к самому сложному.

Например, Р(n) - некоторое утверждение, зависимое от n є N

1) Проверяем правдивость Р(1)

2) Предполагаем, что P(k) истинно

3) Доказываем истинность Р(k+1)

4) Заключаем, что Р(n) истинно для любых n.

Определение 12. Одномонотонные последовательности - это последовательности чисел вида (а1 а2 … аn)(b1 b2 … bn) записанных в виде таблицы, где наибольшее из чисел а1 а2 … аn находится над наибольшим числом из чисел b1 b2 … bn и второе по величине из чисел а1 а2 … аn над вторым по величине из чисел b1 b2 … bn и т.д., другими словами обе последовательности одновременно возрастающие или одновременно убывающие.

Определение 13. Произведение одномонотонных последовательностей (а1, а2, …аn), (b 1, b2,…bn), …( d 1, d 2,…, d n) это число вида

= а1b1…d12b2…d2+ …+anbn…dn

Делись добром ;)