Вступ

У математиці і її додатках до природознавства й техніки знаходять широке застосування показові функції. Це, зокрема, пояснюється тим, що багато досліджувані в природознавстві явища ставляться до числа так званих процесів органічного росту, у яких швидкості зміни функцій, що беруть участь у них, пропорційні величинам самих функцій.

Якщо позначити через функцію, а через аргумент, то диференціальний закон процесу органічного росту може бути записаний у вигляді де деякий постійний коефіцієнт пропорційності.

Інтегрування цього рівняння приводить до загального рішення у вигляді показової функції

Якщо задати початкова умова при , то можна визначити довільну постійну й, таким чином, знайти приватне рішення яке являє собою інтегральний закон розглянутого процесу.

До процесів органічного росту ставляться при деяких припущеннях, що спрощують, такі явища, як, наприклад, зміна атмосферного тиску залежно від висоти над поверхнею Землі, радіоактивний розпад, охолодження або нагрівання тіла в навколишнім середовищі постійної температури, хімічна реакція (наприклад, розчинення речовини у воді), при якій має місце закон дії мас (швидкість реакції пропорційна наявній кількості реагуючої речовини), розмноження мікроорганізмів і багато хто інші.

Зростання грошової суми внаслідок нарахування на неї складних відсотків (відсотки на відсотки) також являє собою процес органічного росту.

Ці приклади можна було б продовжувати.

Поряд з окремими показовими функціями в математику і її додатках знаходять застосування різні комбінації показових функцій, серед яких особливе значення мають деякі лінійні й дрібно-лінійні комбінації функцій і так звані гіперболічні функції. Цих функцій шість, для них уведені наступні спеціальні найменування й позначення:

(гіперболічний синус),

(гіперболічний косинус),

(гіперболічний тангенс),

(гіперболічний котангенс),

(гіперболічний секанс),

(гіперболічний секанс).

Виникає питання, чому дані саме такі назви, причому тут гіпербола й відомі із тригонометрії назви функцій: синус, косинус, і т.д.? Виявляється, що співвідношення, що звязують тригонометричні функції з координатами крапок окружності одиничного радіуса, аналогічні співвідношенням, що звязують гіперболічні функції з координатами крапок рівносторонньої гіперболи з одиничною піввіссю. Цим саме й виправдується найменування гіперболічних функцій.