2.2 Заміна змінного при обчисленні межі

Теорема 1. Якщо існують причому для всіх з деякої проколотої околиці крапки виконується умова , то в крапці існує межа складної функції й справедливо

Відповідно до визначення межі, функції й визначені відповідно в і , де , причому для виконується умова . Тому на множині визначена складна функція . Нехай - довільна послідовність така, що

Позначимо , тоді по визначенню межі функції

Тому що існує

Це означає, що тобто справедливо рівність

Приклад 1. Довести, що:

Функція безперервна й строго монотонна на (зростає при й убуває при ). На проміжку існує зворотна до неї функція , безперервна й строго монотонна. З огляду на, що при й використовуючи формулу одержуємо

Відзначимо важливий окремий випадок формули (1):

Приклад 2. Довести, що

Тому що те, застосовуючи формулу одержуємо

гіперболічна функція тейлор макларен