1.3 Необхідні й достатні умови існування в системи (1.1) двох часток інтегралів (1.3), (1.13)

У розділах 1.1-1.2 ми одержали, що система (1.1) буде мати дві частки інтеграла у вигляді кривих другого порядку за умови, що коефіцієнти системи звязані співвідношеннями:

(1.25)

Причому b1 (0, b2 (0, a1 (0, b1a-b2b (0.

Виражаючи c з першого рівняння системи (1.25), одержимо

(1.26)

Підставимо (1.26) у друге й третє рівняння системи (1.25).

Одержимо два співвідношення, що звязують параметри a, b, d, a2, b1, b2:

.

Нехай і

(1.27)

З першого рівняння системи (1.27) одержимо

Підставляючи в друге рівняння системи (1.27), знайдемо

.

Зі співвідношень (1.25) при умовах (1.27) одержуємо, що коефіцієнти системи (1.1) визначаються наступними формулами:

(1.28)

(1.29)

(1.30)

, , , , (1.31)

Рівності (1.9) - (1.11), (1.19) - (1.22) за умови, що мають місце формули (1.28) - (1.31), дадуть наступні вираження для коефіцієнтів інтегралів (1.3) і (1.13):

1 (1.32)

2 (1.33)

3 (1.34)

(1.35)

(1.36)

(1.37)

(1.38)

Теорема 1.3 Система (1.1) має приватні інтеграли виду (1.3) і (1.13) з коефіцієнтами, певними формулами (1.32) - (1.38), за умови, що коефіцієнти системи (1.1) виражаються через параметри по формулах (1.28) - (1.31).

Нехай

(1.39)

З першого рівняння системи (1.39) знайдемо

, .

Підставляючи в друге рівняння системи (1.39), одержимо рівність:

(1.40)

Оскільки , те розглянемо два випадки: , тоді .

Зі співвідношень (1.25) при умовах (1.39) і (1.40) одержуємо, що коефіцієнти системи (1.1) визначаються наступними формулами:

, , (1.41)

, , , , (1.42)

Рівності (1.9) - (1.11), (1.19) - (1.22) за умови, що мають місце формули (1.41) - (1.42), дадуть наступні вираження для коефіцієнтів інтегралів (1.3) і (1.13):

1 (1.43),2 (1.44)

3 (1.45), (1.46)

(=0 (1.47)

(1.48),

(1.49)

Теорема 1.4 Система (1.1) має приватні інтеграли виду (1.3) і (1.13) з коефіцієнтами, певними формулами (1.43) - (1.49), за умови, що коефіцієнти системи (1.1) виражаються через параметри по формулах (1.41) - (1.42).

б) (1.50), (1.51)

З (1.50) знайдемо :

Зі співвідношень (1.25) при умовах (1.39) і (1.50) - (1.51) одержуємо, що коефіцієнти системи (1.1) визначаються наступними формулами:

, - будь-яке число, (1.52)

, , , , (1.53)

Рівності (1.9) - (1.11) і (1.19) - (1.22) за умови, що мають місце формули (1.52) - (1.53), дадуть наступні вираження для коефіцієнтів інтегралів (1.3) і (1.13):

(1=0 (1.54), 2 (1.55)

(1.56)

(1.57)

(1.58)

(1.59)

(1.60)

Теорема 1.5 Система (1.1) має приватні інтеграли виду (1.3) і (1.13) з коефіцієнтами, певними формулами (1.54) - (1.60), за умови, що коефіцієнти системи (1.1) виражаються через параметри по формулах (1.52) - (1.53).