2.2 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.41) - (1.42)
Будемо проводити наше дослідження в припущенні, що
Нехай ми маємо систему (1.1), коефіцієнти якої визначаються формулами (1.41) - (1.42). Тоді система (1.1) буде мати вигляд:
(2.8)
Інтегральні криві в цьому випадку мають вигляд:
(2.9)
(2.10)
Приватний інтеграл (1.13) у цьому випадку перетворюється у дві прямі (2.10)
1. Знайдемо стани рівноваги системи (2.8). Для цього дорівняємо праві частини системи нулю
Розглянемо два випадки:
Одержуємо:
З першого рівняння знайдемо y:
і підставляючи y у друге рівняння одержимо:
Вирішуючи це рівняння, знаходимо:
.
Отже, одержуємо
,
,
Отже, одержуємо крапки
, , ,
і пряму x=0, що є траєкторією системи (2.8).
2. Досліджуємо поводження траєкторій на околицях станів рівноваги
Досліджуємо крапку .
Складемо характеристичне рівняння в крапці .
Звідси
(2.11)
Отже, характеристичне рівняння прийме вид:
Характеристичними числами для крапки системи (2.8) будуть , . Коріння - дійсні й різні знаки не залежно від параметра d, значить крапка - сідло. Досліджуємо крапку . Згідно (2.11) складемо характеристичне рівняння в крапці :
Характеристичними числами для крапки системи (2.8) будуть , .
Коріння - дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d0, то крапка - нестійкий вузол, а якщо d0, то крапка - стійкий вузол.
3. Досліджуємо поводження траєкторій в околиці крапки .
Складемо характеристичне рівняння згідно (2.11)
.
Характеристичними числами для крапки системи (2.8) будуть
,
Коріння - дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d0, то крапка - стійкий вузол, якщо d0, то крапка - нестійкий вузол.
4. Досліджуємо поводження траєкторій в околиці крапки .
Згідно (2.11) складемо характеристичне рівняння:
Характеристичними числами для крапки системи (2.8) будуть , . Коріння - дійсні й різні знаки не залежно від параметра d, отже - сідло. Досліджуємо нескінченно - вилучену частину площини системи (2.8) поза кінцями осі oy. Перетворення [7] переводить систему (2.8) у систему:
(2.12)
де .
Вивчимо нескінченно - вилучені крапки на осі U, тобто при z=0. Одержуємо:
Отже .
Таким чином, одержуємо дві крапки N1 (0,-1) і N2 (0,1), які є станом рівноваги. Досліджуємо характер цих крапок звичайним способом.
Складемо характеристичне рівняння в крапці N1 (0,-1).
(2.13), . Маємо:
, .
Коріння - дійсні й різні за знаком, отже крапка N1 (0,-1) - сідло.
Досліджуємо крапку N2 (0,1). Згідно (2.13) складемо характеристичне рівняння:
, .
Коріння - дійсні й одного знака, значить крапка N2 (0,1) - стійкий вузол.
Досліджуємо кінці осі y за допомогою перетворення [7] . Це перетворення переводить систему (2.8) у систему:
(2.14)
де .
Для дослідження станів рівноваги на кінцях осі y, нам необхідно досліджувати тільки крапку N3 (0,0). Складемо характеристичне рівняння в крапці N3 (0,0):
,
Коріння - дійсні й одного знака, значить крапка N3 (0,0) - нестійкий вузол.
Тепер дамо розподіл станів рівноваги системи (2.1) у вигляді таблиці 2.
Таблиця 2.
d |
? |
|||||||
N1 |
N2 |
N3 |
||||||
(-?; 0) |
сідло |
невуст. вузол |
вуст. вузол |
сідло |
сідло |
вуст. вузол |
невуст. вузол |
|
(0; +?) |
сідло |
вуст. вузол |
невуст. вузол |
сідло |
сідло |
вуст. вузол |
невуст. вузол |
Положення кривих (2.9), (2.10) і розташування щодо їхніх станів рівноваги при d (0 і d (0 дається відповідно мал.2 (а, б).
Поводження траєкторій системи в цілому при d (0 і d (0 дається мал.5 (а, б) додатка Б: Поводження траєкторій системи (2.8).
Питання про існування граничних циклів не виникає, тому що Воробйов А.П. [5] довів, для квадратичної системи граничний цикл не може оточувати вузол.
а (d0) б (d0)
Мал.2
- Введення
- 1. Побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем
- 1.1 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системи із приватним інтегралом у вигляді параболи
- 1.2 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системи із приватним інтегралом у вигляді окружності або гіперболи
- 1.3 Необхідні й достатні умови існування в системи (1.1) двох часток інтегралів (1.3), (1.13)
- 2. Якісне дослідження побудованих класів систем
- 2.1 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.28) - (1.31)
- 2.2 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.41) - (1.42)
- 2.3 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.52) - (1.53)
- Висновок
- 75.Умовне математичне сподівання дискретної і неперервної двовимірної випадкової величини.
- § 2. Дослідження сутності зв'язків правової системи
- 1.2. Визначники другого порядку. Системи лінійних рівнянь з двома невідомими
- Тема 4. Дослідження бактерій у непофарбованому вигляді
- Комп'ютерні моніторингові системи
- § 7. Системи лінійних рівнянь із двома змінними
- 1. Системи лінійних рівнянь із двома змінними та їх розв’язки.
- 3. Диференціальні рівняння другого порядку
- Список рекомендованої літератури