2.3 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.52) - (1.53)
Будемо проводити наше дослідження в припущенні, що , . Нехай ми маємо систему (1.1), коефіцієнти якої визначаються формулами (1.52) - (1.53). Тоді система (1.1) буде мати вигляд:
(2.15)
Інтегральні криві в цьому випадку мають вигляд:
(2.16)
(2.17)
Тобто приватні інтеграли (1.3) і (1.13) перетворюються в прямі таким чином, що інтегральна крива (2.16) збігається з однієї із прямих інтегральній кривій (2.17).
Знайдемо стани рівноваги системи (2.15). Дорівнявши праві частини системи нулю, і виключивши змінну y, одержимо наступне рівняння для визначення абсцис станів рівноваги:
(2.18)
З (2.18) одержуємо, що
, , .
Ординати крапок спокою мають вигляд:
, , .
Отже, маємо крапки
, , .
Досліджуємо поводження траєкторій на околицях станів рівноваги .
Досліджуємо стан рівноваги в крапці .
Складемо характеристичне рівняння.
Звідси
(2.19)
Отже, характеристичне рівняння прийме вид
Маємо
,
Або
.
Характеристичними числами для крапки для системи (2.15) будуть
.
Коріння - комплексні й залежать від параметра d. Виходить, якщо d0, то крапка - стійкий фокус, якщо d0, то крапка - нестійкий фокус. Досліджуємо крапку
.
Згідно (2.19) складемо характеристичне рівняння в крапці
.
Маємо
.
Характеристичними числами для крапки системи (2.15) будуть , . Коріння - дійсні й різні знаки не залежно від параметра d. Отже, крапка - сідло.
3. Досліджуємо крапку .
По (2.19) складемо характеристичне рівняння в крапці .
Одержимо
.
Вирішуючи рівняння, одержимо
,
тобто
,
Коріння - дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо do, то крапка - нестійкий вузол, якщо d0, то крапка - стійкий вузол. Досліджуємо нескінченно - вилучену частину площини поза кінцями осі oy перетворенням [7] Це перетворення систему (2.15) переводить у систему:
(2.20)
де .
Вивчимо нескінченно - вилучені крапки на осі u, тобто при z=0. Одержуємо
Отже
Отже, маємо дві крапки N1 (0,2) і N2 (0,-2).
Досліджуємо характер цих крапок звичайним способом. Складемо характеристичне рівняння в крапці N1 (0,2).
(2.21)
.
Отже
, ,
Скористаємося паралельним переносом
і підставимо z, u у систему (2.20). Одержимо нову систему:
(2.22)
Складемо характеристичне рівняння в крапці N2 (0,-2)
Характеристичними числами для крапки N2 (0,-2), будуть , - складний стан рівноваги. Для визначення характеру стану рівноваги скористаємося теоремою [2, с. 196-198]. Теорема 2.1 Нехай крапка (0,0) - ізольований стан рівноваги системи:
(2.23)
де , є поліноми від x,y починаючи із другого ступеня, - рішення рівняння , а розкладання функції має вигляд:
Тоді
1) при m - непарному й m0 крапка (0,0) - є топологічний вузол;
при m - непарному й m0 крапка (0,0) - є топологічне сідло;
при m - парному крапка (0,0) є сідло - вузол, тобто такий стан рівноваги, канонічна околиця якого складається з двох гіперболічних секторів. При цьому:
якщо m0, то усередині гіперболічних секторів укладений відрізок позитивної півосі OX, що примикає до крапки (0,0);
якщо m0, то відрізок негативної півосі OX.
Щоб скористатися теоремою, необхідно систему (2.22) привести до виду:
Це можна зробити, скориставшись одним з наступних перетворень [2, с. 199-201]:
якщо ,
якщо , ,
якщо , ,
де a, b, c, d - коефіцієнти системи (2.23).
Тоді для системи (2.22) візьмемо наступне перетворення:
Одержимо
Тоді
(2.24)
Знайдемо рішення рівняння:
у вигляді ряду по ступенях Z1:
,
Отже
Тоді
Підставляючи U1 у систему (2.24) одержимо:
Звідси
, 0.
Отже, по теоремі 2.1 одержуємо, що крапка N2 (0,-2) - сідло - вузол.
Досліджуємо кінці осі y за допомогою перетворення [7] . Це перетворення переводить систему (2.15) у систему:
(2.25)
де .
Для дослідження станів рівноваги на кінцях осі y, нам необхідно досліджувати тільки крапку N3 (0,0). Складемо характеристичне рівняння в крапці N3 (0,0)
Відповідно характеристичними числами будуть
Коріння - дійсні й одного знака. Отже, крапка N3 (0,0) - стійкий вузол.
Тепер дамо розподіл станів рівноваги системи (2.1) у вигляді таблиці 3.
Таблиця 3.
d |
? |
||||||
N1 |
N2 |
N3 |
|||||
(-?; 0) |
вуст. фокус |
сідло |
невуст. вузол |
сідло |
сідло-вузол |
вуст. вузол |
|
(0; +?) |
невуст. фокус |
сідло |
вуст. вузол |
сідло |
сідло-вузол |
вуст. вузол |
Положення кривих (2.16), (2.17) і розташування щодо їхніх станів рівноваги при d (0 і d (0 дається відповідно мал.3 (а, б).
Поводження траєкторій системи в цілому при d (0 і d (0 дається мал.6 (а, б) додатка В: Поводження траєкторій системи (2.15).
Питання існування граничних циклів залишається відкритим.
а (d (0)
б (d (0)
Мал.3
- Введення
- 1. Побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем
- 1.1 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системи із приватним інтегралом у вигляді параболи
- 1.2 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системи із приватним інтегралом у вигляді окружності або гіперболи
- 1.3 Необхідні й достатні умови існування в системи (1.1) двох часток інтегралів (1.3), (1.13)
- 2. Якісне дослідження побудованих класів систем
- 2.1 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.28) - (1.31)
- 2.2 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.41) - (1.42)
- 2.3 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.52) - (1.53)
- Висновок
- 75.Умовне математичне сподівання дискретної і неперервної двовимірної випадкової величини.
- § 2. Дослідження сутності зв'язків правової системи
- 1.2. Визначники другого порядку. Системи лінійних рівнянь з двома невідомими
- Тема 4. Дослідження бактерій у непофарбованому вигляді
- Комп'ютерні моніторингові системи
- § 7. Системи лінійних рівнянь із двома змінними
- 1. Системи лінійних рівнянь із двома змінними та їх розв’язки.
- 3. Диференціальні рівняння другого порядку
- Список рекомендованої літератури