Геометричні й фізичні додатки кратних інтегралів

1) Площа плоскої області S: (11)

Приклад 1.

Знайти площу фігури D, обмеженої лініями

в = 2, в = 5.

Рішення.

20

Цю площу зручно обчислювати, уважаючи в зовнішньої змінної. Тоді границі області задаються рівняннями й

де обчислюється за допомогою інтегрування вроздріб:

Отже,

2) Обєм циліндроїда, тобто тіла, обмеженого частиною поверхні S: z = f (x,y), обмеженої контуром L, проекцією D цієї поверхні на площину Оху й відрізками, паралельними осі Оz і зєднуючу кожну крапку контуру L з відповідною крапкою площини Оху:

(12)

3) Площа частини криволінійної поверхні S, заданої рівнянням z = f (x,y), обмеженої контуром L:

(13)

де D - проекція S на площину Оху.

4) Момент інерції відносно початку координат Про матеріальну плоску фігуру D:

(14)

Приклад 2.

Знайти момент інерції однорідної круглої пластинки (x - a) ² + (y - b) ² < 4b² відносно початку координат. Рішення.

У силу однорідності пластинки покладемо її щільність? (х, у) = 1.

20

Центр кола розташований у крапці C (a, b), а його радіус дорівнює 2b.

Рівняння границь пластинки мають вигляд

Обчислимо кожного з отриманих інтегралів окремо.

Для обчислення інтеграла I₁ зробимо заміну: при x = a - 2b при x = a + 2b

Для обчислення інтеграла I₂ перетворимо функцію по формулі різниці кубів:

. Тоді

Отже,

Моменти інерції фігури D щодо осей Ох і Оу:

(15)

5) Маса плоскої фігури D змінної поверхневої щільності? =? (х, у):

(16)

Приклад 3.

Знайти масу пластинки D щільності г = ух³, якщо

Рішення.

20

Координати центра мас плоскої фігури змінної поверхневої щільності? =? (х, у):

(17)

Приклад 4.

Знайти центр ваги однорідної пластини D, обмеженої кривими в² = ах і . Рішення.

Тому що пластина однорідна, тобто її щільність постійна, то можна прийняти неї за одиницю.

20

Тоді

Знайдемо масу пластини, а для цього визначимо абсцису крапки перетинання обмежуючих її ліній:

Відповідно

6) Обєм тіла V:

(18)

Приклад 5.

Знайти обєм тіла V, обмеженого поверхнями

Рішення.

Знайдемо проекцію тіла на площину Оху (при цьому помітимо, що площина проектує на цю площину у вигляді прямій х = 0):

20

Визначимо абсцису крапки перетинання кривих в = х² і х + в = 2:

сторонній корінь. Тоді, використовуючи формулу (18), одержуємо:

7) Маса тіла V щільності? =? (x, y, z):

(19)

8) Моменти інерції тіла V щодо координатних осей і початку координат:

(20)

(21)

де? (х, y, z) - густина речовини.

Статичні моменти тіла щодо координатних площин Oyz, Oxz, Oxy:

(22)

9) Координати центра мас тіла: