Теоретична частина

Нехай крива Г задана в декартової прямокутній системі координат xOy рівнянням:

. (1.1)

Якщо хоча б один з коефіцієнтів відмінний від нуля, то криву Г називають кривій другого порядку.

Теорема 1. Для довільної кривої другого порядку Г існує така декартова прямокутна система координат XOY, що в цій системі крива Г має рівняння одного з наступних канонічних видів:

1) , а b > 0 -- еліпс,

2) -- мнимий еліпс,

3) -- дві мнимі пересічні прямі (крапка),

4) -- гіпербола,

5) -- дві пересічні прямі,

6) -- парабола,

7) -- дві паралельні прямі,

8) -- дві мнимі паралельні прямі,

9) -- дві співпадаючі прямі.

У цих рівняннях a, b, p -- позитивні параметри.

Систему координат XO (Y назвемо канонічною системою координат, а систему координат xOy - загальною системою координат.

Класифікація кривих другого порядку

Залежно від значення інваріанта прийнята наступна класифікація кривих другого порядку:

· якщо крива другого порядку Г називається кривій еліптичного типу.

· якщо крива другого порядку Г називається кривій параболічного типу.

· якщо крива другого порядку Г називається кривій гіперболічного типу.

Крива другого порядку Г називається центральної, якщо . Криві еліптичного й гіперболічного типу є центральними кривими.

Центром кривої другого порядку Г називається така крапка площини, стосовно якої крапки цієї кривої розташовані симетрично парами. Крапка є центром кривої другого порядку, обумовленої рівнянням (1.1), у тім і тільки в тому випадку, коли її координати задовольняють рівнянням:

(2.1)

(2.1)

Визначник цієї системи дорівнює . Якщо , то система має єдине рішення. У цьому випадку координати центра можуть бути визначені по формулах:

, . (2.2)

З теорем 1 і 2 виходить наступна класифікація кривих другого порядку за допомогою інваріантів:

1) еліпс

2) мнимий еліпс

3) дві мнимі пересічні прямі (крапка)

4) гіпербола

5) дві пересічні прямі (2.3)

6) парабола

7) дві паралельні прямі

8) дві мнимі паралельні прямі

9) дві співпадаючі прямі

Практична частина

Дано

Визначити тип кривої за допомогою інваріантів залежно від ?:

Обчислимо інваріанти:

1. Якщо , то маємо лінії еліптичного типу

Цих ? буде еліпс

При

При

2. Якщо то пишемо лінії параболічного типу, при цьому, щоб була парабола

3. Якщо , то одержуємо лінії гіперболічного типу

При гіпербола

При корінь ні, тобто таких двох пересічних прямих, не існує.

Досліджуємо криву при ?=0 , тоді одержимо:

Спершу повернемо на кут ?:

Знайдемо кут ?,такий щоб коефіцієнт при був дорівнює 0:

Нехай

Згрупуємо члени рівняння й доповнимо до повного квадрата:

Зробимо перенос системи координат

координати нового центра O системи координат

Таким чином ми правильно визначили канонічне рівняння

Визначимо фокус еліпс.

Відстань між знайдемо по:

У системі координат

Ексцентричний еліпс

Директриси

Висновок

Дослідивши загальне рівняння кривої другого порядку й привівши його до канонічного виду, ми встановили, що дана крива -- еліпс. Ми одержали канонічне рівняння гіперболи за допомогою перетворень паралельного переносу й повороту координатних осей.

Дослідження форми поверхні другого порядку

Теоретична частина

Поверхнею другого порядку S називається геометричне місце крапок, декартові прямокутні координати яких задовольняють рівнянню виду:

де принаймні один з коефіцієнтів відмінний від нуля.

Рівняння (3.1) називають загальним рівнянням поверхні другого порядку S, а систему координат Oxyz називають загальною системою координат.

Теорема: Для довільної поверхні S, заданої загальним рівнянням існує така декартова прямокутна система координат що в цій системі поверхня S має рівняння одного з наступних сімнадцяти канонічних видів.

1) -- еліпсоїд,

2) -- мнимий еліпсоїд,

3) -- гіперболоїд,

4) -- гіперболоїд,

5) -- конус,

6) -- мнимий конус (крапка),

7) -- еліптичний параболоїд,

8) -- гіперболічний параболоїд,

9) -- еліптичний циліндр,

10) -- мнимий еліптичний циліндр,

11) -- дві мнимі пересічні площини (вісь O),

12) -- гіперболічний циліндр,

13) -- дві пересічні площини,

14) -- параболічний циліндр,

15) -- дві паралельні площини,

16) -- дві мнимі паралельні площини,

17) -- дві співпадаючі площини (площина XOZ).

У вище перерахованих рівняннях a, b, c, p -- позитивні параметри. Систему координат називають канонічною.

Дослідження форми поверхні другого порядку методом перетину площинами

Якщо дано канонічне рівняння поверхні S, то подання про поверхню можна одержати за формою ліній перетинання її площинами:

Z = h -- паралельними координатної площини XO,

X = h -- паралельними координатної площини YO,

Y = h -- паралельними координатної площини XO.

Практична частина

Дано

Це еліпсоїд у прямокутної декартової системі координат Oxyz, де осі OX, OY, OZ - осі симетрії.

1. Розглянемо лінії площинами =h (h=const):

(1)

Площина Z=h паралельна площини Oxy.

Рівняння проекцій на Oxy мають вигляд:

Якщо , те, і тоді поділимо обидві частини рівняння на , одержимо:

Це рівняння еліпсів з півосями

,

зі зменшенням , центр еліпса (0;0;h)

При різних h маємо:

Якщо , тоді й значить лінії задовольняючому рівнянню(1) немає.

2. Розглянемо отримані в перетинах еліпсоїда площинами X=h:

(2)

Рівняння проекцій на YOZ.

Це рівняння еліпсів з півосями

,

Якщо , то a=3, b=2, і

Якщо , тоді ми одержуємо сімейство еліпсів:

, ;

, ;

Якщо , тоді -- це рівняння крапки з координатами (h;0;0).

Якщо , тоді й значить лінії задовольняючому рівнянню (2) немає.

3. Розглянемо отримані в перетинах еліпсоїда площинами Y=h:

(3)