1.1 Математичний аналіз як наука

Математичний аналіз, як самостійна галузь науки, почав формуватися із зародження інтегрального та диференціального числення.

Формування інтегрального та диференціального числення відбулося на основі операцій з нескінченно малими величинами в процесі розвитку інтегральних та диференціальних методів і встановлення тісних звязків між ними. Розглянемо джерела виникнення і засоби творення цих методів, які виникли незалежно один від одного на різних етапах розвитку математики і довгий час застосовувалися для розвязування двох різних груп задач.

Перша група задач зводиться до знаходження сум нескінченно великого числа нескінченно малих доданків. Це - задачі про визначення площ, обємів, роботи, центрів тяжіння тощо.

Щоб уникнути нескінченності в обчисленні мір давньогрецький вчений Евдокс запропонував метод вичерпування. Цей метод плідно розвивали і застосовували Евклід, Архімед та інші математики.

Для знаходження площ і обємів геометричних фігур Архімед використовував методи, які схожі до обчислень геометричних сум. Наприклад, щоб знайти обєм тіла обертання, зокрема сфероїда, Архімед розбивав його на n шарів рівної товщини. Далі розглядав суми обємів циліндрів, описаних навколо кожного із цих шарів і вписаних в них, показував, що різниця цих сум при збільшенні n стає як завгодно малою. Нарешті, знаходив обєм розглядуваного тіла як спільну границю цих сум. У такий спосіб Архімед розвязав багато задач, які тепер розвязуються за допомогою інтегралів [2].

Таким чином, уже антична математика містила елементи визначеного інтегрування, зокрема, побудову верхніх і нижніх інтегральних сум, аналогічних певною мірою сумам Дарбу. Метод інтегральних сум давніх греків спирався на інтуїтивне, строго не визначене поняття площі та нескінченної суми, а тому застосовувався індивідуально для кожної конкретної задачі без виділення теоретичних основ.

Метод Архімеда для обчислення площ і обємів дещо спростив і узагальнив італійський математик Л. Валеріо. Йому вдалось уникнути прикінцевого доведення методом від супротивного за рахунок використання на інтуїтивному рівні граничного переходу. Він сформулював загальну теорему і посилався на неї, щоб не проводити щоразу детальні доведення. Але робота Валеріо “Три книги про центр тяжіння тіл” (1604) не отримала такої популярності, як роботи Й. Кеплера і Б. Кавальєрі.

Німецький астроном і математик Й. Кеплер, використовуючи ідеї Архімеда, ще більше звертався до інтуїтивних прийомів і зовсім не обґрунтовував їх. Щоб обчислити площу якоїсь фігури, він розбивав її на нескінченну множину нескінченно малих елементів однієї з нею розмірності. З цих елементів утворював нову фігуру, площу якої вже вмів обчислювати. Цей метод Й. Кеплер застосовував і до обчислення обємів тіл. Зокрема, вважаючи, що кожне тіло обертання складається з безлічі “найтонших кружечків”, він визначив обєми 92 таких тіл.

Ще далі пішов італійський математик Б. Кавальєрі. Уявляючи кожну фігуру як таку, що складена з “неподільних” - плоска фігура з відрізків, а тіло з плоских фігур - він сформулював свої принципи: плоскі фігури і тіла співвідносяться між собою так, як всі їх неподільні разом взяті; якщо неподільні перебувають в одному і тому ж відношенні між собою, то відношення площ відповідних фігур чи обємів тіл дорівнює цьому відношенню. Метод неподільних Ю. Кавальєрі мав істотні недоліки, але сам Кавальєрі вважав ці твердження очевидними і приймав їх без доведення, як принципи [3].

У першій половині 17 ст. математики встановили, що велика кількість різнорідних задач з геометрії та механіки мають спільні шляхи розвязання і зводяться до квадратур чи кубатур. Ідеї, що містили елементи визначеного інтегрування, швидко поширювалися серед математиків Західної Європи. Їх використовували і розвивали Е. Торічеллі, Н. Меркатор, Б. Паскаль, П. Ферма, Р. Декарт, Х. Гюйгенс, Д. Валліс, І. Барроу. Але на той час можливості цих методів були обмеженими, бо в кожному конкретному випадку підраховувалися границі нових інтегральних сум.

До другої групи задач можна віднести задачі про рухи та інші процеси. Для визначення напрямку руху тіла в деякій точці його траєкторії потрібне було поняття дотичної. Дослідження кривих ставили задачі на максимум і мінімум. Вивчення руху взагалі вимагало поняття миттєвої швидкості. Ці задачі ставилися з давніх часів, але розвязувалися тоді геометричними і механічними способами, не повязаними спільною ідеєю. Так Архімед досліджував як побудувати дотичну до спіралі.

Тільки в 17 ст. виявили, що всі ці задачі можна розвязувати єдиним методом, використовуючи нескінченно малі величини. Цей метод отримав розвиток у роботах Р. Декарта, П. Ферма, Д. Грегорі, Д. Валліса, І. Барроу та інших. Розвиток цього методу привів до створення диференціального числення.

Найкращі результати на цей час отримали П. Ферма та І. Барроу. П. Ферма по суті вмів знаходити похідну довільного многочлена від однієї змінної. Користуючись цим, він показав, як розвязувати екстремальні задачі, в тому числі - про вписування в дану кулю конуса найбільшого обєму, циліндра найбільшої площі поверхні тощо. Але саме поняття похідної він не виокремив. Прийоми, розроблені П. Ферма, стали безпосередніми посередниками диференціального числення. Це відмічали Ж. ДАламбер, Ж. Лагранж і П. Лаплас.

Останнє відкриття, яке передувало створенню математичного аналізу, зробив І. Барроу. В роботі “Оптичні і геометричні лекції” (1669-1670) він встановив звязок між двома важливими задачами: обчислення площі і проведення дотичної. Застосовуючи сучасні позначення, доведене ним твердження можна записати у такому вигляді: .

Як бачимо, цим самим встановлено взаємну оберненість операцій диференціювання та інтегрування. До доведення цієї залежності І. Барроу підійшов двома шляхами: кінематично і геометрично. Це доведення мало загальний характер: він встановлює і доводить свої твердження відразу для всіх функцій. Твердження І. Барроу дає можливість за результатами якого-небудь диференціювання чи інтегрування віднайти результат застосованої до нього оберненої операції. Використовуючи цей результат він розвязав багато обернених задач на дотичні. З його творами ознайомилось багато вчених, але вони не зрозуміли загальності і важливості цієї залежності через громіздке геометричне формулювання й уникання аналітичних методів. На сьогоднішній день залежність, встановлена І. Барроу, є змістом основної теореми математичного аналізу. Саме вона дає змогу обчислювати інтеграли за допомогою знаходження первісної, тобто використовуючи операцію обернену до диференціювання [2].

Основні ідеї математичного аналізу, щоправда в механічній та геометричній формах, повністю визріли на кінець 17-го століття. Для остаточного створення інтегрального і диференціального числення стало необхідним обєднати існуючі загальні прийоми, які застосовувалися для розвязування різних задач, в єдиний метод на базі поняття нескінченно малої величини і виробити алгоритм для обчислення похідних та інтегралів. Це стало під силу двом геніальним вченим - І. Ньютону і Г. Лейбніцу. Їх обох вважають основоположниками диференціального числення.

До основних понять і до алгоритму числення нескінченно малих І. Ньютон прийшов у середині 60-х років 17-го століття. Перший виклад свого нового аналітичного методу Ньютон записав восени 1666 року у чорновому нарисі, який мав назву “Наступні пропозиції достатні для розвязання задач за допомогою рухів”. Численню нескінченно малих Ньютон присвятив ще кілька робіт: “Аналіз за допомогою рівнянь з нескінченною кількістю членів”, “Метод флюксій і нескінченних рядів”. Вони були надруковані тільки на початку 18 ст., а до публікації мали обмежене поширення.

Погляди І. Ньютона на числення нескінченно малих кілька разів змінювалися. Спочатку, під впливом Барроу і Валліса, Ньютон оперував з нескінченно малими величинами, називаючи їх моментами. Він використовував моменти площ і побудував на їх основі свій метод квадратури.

1669 року Ньютон встановив чіткий звязок між квадратурами і похідними. Слід відмітити, що на той час у явному вигляді ще не існувало означення похідної, інтеграла і нескінченно малих приростів [5].

У 1671 р. І. Ньютон відмовився від нескінченно малих величин і у праці “Метод флюксій і нескінченні ряди” увів свій найбільш відомий метод. Він розглядає математичні величини як “породжувані внаслідок неперервного зростання, подібно до шляху, який описує тіло або будь-яка річ, що рухається”, і вводить поняття “швидкості породжуючи їх рухів”. Ці швидкості були названі ним “флюксіями”.

У теорії флюксій І. Ньютон розвязував дві основні задачі:

1. Визначення швидкості руху в даний момент часу за заданим шляхом.

2. За заданою швидкістю руху визначити пройдений за даний час шлях.

Перша задача - диференціювання функції декількох змінних, які залежать від часу. Розвязання цієї проблеми привело Ньютона до обчислення флексії (похідної) від даної елюенти (функції) і до своєрідного обґрунтування розвинутого ним диференціального числення. Для розвязання цієї задачі Ньютон увів спеціальне правило - алгоритм диференціювання функцій.

Друга задача - інтегрування диференціального рівняння першого порядку. До неї, зокрема, належать задачі визначення функції F (вона називається первісною), знаючи її похідну. Саме ця задача приводить до поняття невизначеного інтеграла.

Використання теореми про взаємну оберненість операцій диференціювання та інтегрування, знання похідних багатьох функцій дало Ньютону можливість отримувати флюєнти. Якщо інтеграли безпосередньо не обчислювались, Ньютон розкладав підінтегральну функцію в степеневий ряд і інтегрував його почленно. Введення такого прийому - заслуга Ньютона [2].

Більшість результатів теорії флексій Ньютон отримав у 60-70 роках 17 ст., але з публікаціями не поспішав. Однією з причин цього стала недостатня логічна обґрунтованість теорії флексій. Ньютон шукав методи її обґрунтування і на цьому шляху створив метод перших і останніх відношень - початкову форму теорії границь. Цей метод він виклав у творі “Математичні основи натуральної філософії”. Сучасною термінологією твердження І. Ньютона розкриваються у таких положеннях.

Границя відношення довжини дуги до довжини хорди є одиниця. Одиниця служить границею відношення довжини дуги до відрізка дотичної від точки дотику до точки перетину з ординатою другого кінця.

І все ж методи, розроблені Ньютоном, залишалися недостатніми для обґрунтування диференціального числення. Це був той етап розвитку аналізу нескінченно малих, коли теорія існує і розвивається, але не розяснюється.

Іншими шляхами прийшов до створення числення нескінченно малих Г. Лейбніц. В 1672 р. у Парижі він познайомився з Х. Гюйгенсом, який звернув увагу молодого вченого на математику і, зокрема, на задачу про визначення суми чисел, обернених трикутним. Так Г. Лейбніц почав займатися підсумовуванням рядів, яке згодом розглядав як підготовку до створення диференціального числення. Зустрічі та бесіди з Х. Гюйгенсом показали Г. Лейбніцу власну необізнаність у новій математиці, і він почав завзято вивчати твори Б. Кавальєрі, Ж. Роберваля, Б. Паскаля, Р. Декарта, Д. Грегорі і самого Х. Гюйгенса. Одержимий отриманими знаннями Г. Лейбніц зрозумів, що в галузі нового аналізу накопичилась значна кількість розвязань частинних задач і для відкриття загального методу не вистачає зручної символіки. З 1673 р. думки з цього приводу не покидали Лейбніца [6].

Зазвичай Лейбніц позначав датою свої чорнові записи, а тому в загальних рисах можна встановити послідовність і часові межі створення ним нового числення.

1. Знаходження сум рядів і застосування для цього скінченних різниць (з 1673).

2. Розвязування задач на дотичні, узагальнення характеристичного трикутника Паскаля, поступовий перенос співвідношень між скінченними елементами на нескінченно малі.

3. Обернені задачі на дотичні, знаходження сум нескінченно малих різниць, відкриття взаємнооберненості диференціальних та інтегральних задач (1676).

В процесі відшукання загального розвязку задачі про дотичні Г. Лейбніц називає приріст абсциси і ординати “нескінченно малими різницями”, а в 1675 р. вже зявляється знак (d) нескінченно малого приросту величини, перед якою його поставлено - dx, dy. Лейбніц розглядав геометричний зміст похідної: знаходив кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції. Він користувався не похідною, а диференціалом і відношенням диференціалів. Тут d - перша буква латинського слова differentia - різниця, бо ж приріст аргументу і приріст функції - різниця їх значень. Звідси і пішла назва “диференціальне числення”. Поняття диференціала і символи широко використовуються в сучасній математиці.

В цей же час Лейбніц вводить знак ? із зауваженням “ ? означає суму, а d - різницю”. Називаючи інтеграл просто сумою, Лейбніц розглядав суму нескінченної кількості нескінченно малих різниць, і це зразу визначало звязок між операціями диференціювання та інтегрування.

Першу друковану роботу, в якій викладались основні поняття і методи диференціального числення, Лейбніц опублікував у травні 1684 року. Це - мемуар “Новий метод максимумів і мінімумів, а також дотичних, для якого не є перепоною дробові та ірраціональні кількості і особливий для цього рід числення”, що зявився у заснованому ним у 1682 році математичному журналі “Acta Eruditorum”.

За короткими теоретичними відомостями наводились конкретні приклади застосування викладеного методу: диференціювання досить складної неявної функції, дослідження шляху, яким промінь світла за найменший час пройде через два різних середовища; розвязування диференціального рівняння [7].

Через два роки, в 1686-му р., вийшов у світ мемуари Лейбніца “Про приховану геометрію і аналіз неподільних і нескінченних величин”, присвячений інтегральному численню. В цьому творі подавалися прийоми і правила інтегрування багатьох елементарних функцій. Інтеграл він визначав як суму диференціалів, підкреслюючи взаємну оберненість операцій інтегрування та диференціювання. Звідси випливали властивості інтегралів і способи їх обчислення.

В наступних статтях Лейбніц розвив новий аналіз. Він довів, що будь-яка інтегровна функція є обмеженою, а також розробив правило обчислення деяких типів інтегралів, зокрема спосіб інтегрування раціональних функцій.

Основне значення розробленого Лейбніцом апарата полягало в тому, що завдяки чіткості формулювання і зручності символіки він став основою нового числення, за допомогою якого виникла можливість виконувати різноманітні інфінітезимальні дослідження таким самим способом, як дослідження аналізу скінченних величин за допомогою буквеного числення [2].

У 90-ті роки до розробки математичного аналізу приєдналися два видатні швейцарські математики - брати Яков Бернуллі і Йоганн Бернуллі. Ознайомившись зі статтею Лейбніца, вони не відразу змогли осягнути її смисл і написали її автору листа з проханням дати деякі пояснення. Але Лейбніц у цей час подорожував, а тому відповів на листа лише у 1690 р. На цей час брати не лише розібралися в статті, але й одержали нові вагомі результати. І. Лейбніц писав братам, що він вважає їх авторами диференціального числення не менше, ніж самого себе.

У 1696 році зявився перший підручник з аналізу. Його написав маркіз Г. Лопіталь під назвою “Аналіз нескінченно малих для позначення кривих ліній”. Книжка складається з передмови та 10 глав. У передмові подавався короткий історичний огляд розвитку нового числення.

В 10 главах книги викладаються означення сталих і змінних величин та диференціала, виводяться правила диференціювання алгебраїчних виразів, демонструється застосування диференціального числення для знаходження дотичних до кривих, для знаходження максимумів і мінімумів, точок перетину тощо.

Книга Лопіталя добре написана і містила багато прикладів. Саме з появою цього підручника розпочалося широке знайомство з аналізом нескінченно малих і поступове проникнення його в математичну практику.

В основу своєї книги Лопіталь поклав лекції Й. Бернуллі і те, що він здобув із праць та листів Й. Бернуллі і Г. Лейбніца. Самостійним у книзі є лише окремі приклади і деяка частина книги, що стосується дослідження особливих точок кривих. Але з точки зору впорядкування і розміщення матеріалу, доступності та систематичності викладення, книга Г. Лопіталя досить оригінальна і цінувалася вище, ніж курс Й. Бернуллі [11].

На кінець 17 ст. аналіз нескінченно малих вийшов із стадії формування і постав перед математиками в образі нової математичної науки. Числення нескінченно малих розширювалося за рахунок застосувань, однак основні його поняття все ще не були визначені.

Математики 18 ст. розширили методи математичного аналізу і застосували їх до все складніших функцій. В цей час аналіз розвивався переважно у трьох напрямах: диференціальне числення, інтегральне числення та диференціальні рівняння.

Диференціальне числення 18 ст. розвивалося на основі розкладу функцій у степеневі ряди. Методи розроблені попередниками в 1712 - 1715 рр. поповнилися теоремою Тейлора про розклад функції у степеневий ряд. Після цього систематичне застосування рядів Тейлора і Маклорена стало характерною особливістю диференціального числення. Але майже відразу виникла проблема збіжності рядів, яка супроводжувала розвиток диференціального числення протягом усього століття. Основні досягнення у подоланні цієї проблеми стосувалися виведення і дослідження різних форм залишкового члена ряду, перетворення рядів для отримання завідома збіжних, оперування з розбіжними рядами [2].

Інтегральне числення 18 ст. розвивалося як метод знаходження співвідношень між функціями за заданими співвідношеннями між їх диференціалами. Ідея невизначеного інтегрування на цей час набула домінуючого значення. Основною метою числення стало формування методів знаходження первісних для функцій якомога ширшого класу. Інтегральне числення швидко розросталося і згодом, окрім інтегрування функцій, включало розвязування диференціальних рівнянь, варіаційне числення, теорію спеціальних функцій тощо. Ці галузі математичного аналізу поступово відокремлювалися від нього протягом 18 ст.

Найбільший внесок у розвиток і популяризацію диференціального й інтегрального числення у 18 ст. зробив Леонард Ейлер. Він написав повний курс математичного аналізу. У І. Ньютона, Г. Лейбніца і у Й. Бернуллі диференціальне числення не виступало у самостійній формі. У першого воно тісно повязане з часом, а через нього - з механікою, у другого - з геометрією. Ейлер був першим, хто виклав диференціальне числення у чистому вигляді, як універсальний, ні до чого спеціально не привязаний і ні до чого спеціально не пристосований алгоритм.

Інша велика і багата за змістом Л. Ейлера - “Диференціальне числення”, яка, крім усього іншого, містила також і теорію диференціальних рівнянь, теорему Тейлора з багатьма застосуваннями, формулу знаходження сум Ейлера, ейлерові інтеграли. Головну увагу в “Диференціальному численні” Ейлер приділяє поняттю похідної, з якої надалі виходили О. Коші та інші математики першої половини 19 ст. Стверджуючи, що нескінченно мала величина є нулем, Ейлер будував своєрідне “числення нулів”. Він вважав, що різниця двох нескінченно малих завжди дорівнює нулю, а відношення може приймати будь-які значення, одне з яких при наближенні до нуля приводить до похідної. Як бачимо, ейлерове вчення про нескінченно малі в розумінні логістичної бездоганності не пішло далеко від вчення Лейбніца. Але в книжках Ейлера спостерігається строга система викладення, виведення нових формул, прикладів і багато конкретного матеріалу.

Більша частина тому “Диференціальне числення” присвячена теорії рядів і диференціальним рівнянням. Й цій праці він увів позначення, які і досі застосовуються (, та ін.). Для того щоб відрізняти частинні похідні від звичайних, Ейлер заключав звичайні символи в дужки: і . Позначення увів Г. Якобі (1841) [2].

Книга “Інтегральне числення” Ейлера представляє собою інтегральне числення як його розуміють тепер, і зведення знань з інтегрування диференціальних рівнянь. Вона містить, крім різних методів обчислення інтегралів функцій, вчення про інтегрування звичайних диференціальних рівнянь.

На відміну від Г. Лейбніца у Л. Ейлера, як і у І. Ньютона, вихідним було поняття первісної, тобто невизначеного інтегралу. Визначений інтеграл був для Л. Ейлера частинним випадком невизначеного, однією з первісних.

Видатних результатів у галузі математичного аналізу досяг так видатний математики 18 ст. - Ж. Лагранж. Важливим внеском в загальну теорію стало його узагальнення на функції багатьох змінних ряду Тейлора, яке було подано в роботі “Про новий ряд числення” (1772 р.).

Класичною стала праця Лагранжа “Аналітична механіка” (1788), побудована методами математичного аналізу і викладена як дедуктивна наука. В цій книзі Лагранж робить великий крок вперед, застосувавши аналіз до теорії ймовірностей.

В “Теорії аналітичних функцій” (1797) він вивів відповідну формулу Тейлора із залишковим членом. Саме Лагранжем було введено поняття похідної (1798), до цього користувалися рівносильним йому поняттям диференціального коефіцієнта . Також йому належить формула кінцевих приростів, теорія умовних екстремумів. Базуючись на результатах, отриманих Ейлером, він вперше системно виклав основні поняття варіаційного числення, яке завдяки йому стало самостійною гілкою математичного аналізу.

У працях “Теорія аналітичних функцій” і “Лекції про числення функцій” (1801) Лагранж зробив спробу суто алгебраїчно обґрунтувати диференціальне числення на основі поняття функції і ряду, звільнивши його від туманних на той час понять нескінченно малої і границі. Ж. Лагранжу зробити це не вдалося, його нове числення виявилося складнішим звичайного диференціального числення. Але він зробив надзвичайну і для свого часу задовільну спробу. Важливість цих праць була в тому, що вони дали поштовх О. Коші та іншим вченим для пошуку строгої побудови аналізу [13].

Таким чином, у 18 ст. розширення предмету досліджень математичного аналізу та його застосувань відбувалося успішно і досить швидкими темпами. Інакше розвивалися події стосовно обґрунтування нового числення. Понятійний апарат не мав строгих означень і тлумачень, строгості доведень не приділялась потрібна увага, легко здійснювався перехід від скінченного до нескінченного, з нескінченостями оперували як з числами без необхідних на те підстав. Основне поняття, на якому ґрунтувався весь математичний аналіз, - поняття нескінченно малої величини - стало його найуразливішим місцем. Але робота з обґрунтування диференціального та інтегрального числення проведена Л. Ейлером, Ж. ДАламбером, Ж. Лагранжем, Л. Карно та іншими не дала потрібних результатів.

На початку 19 ст. значна кількість математиків дотримувалась думки, що основою математичного аналізу і його докорінної перебудови може стати теорія границь. Походження цього поняття повязане з використанням площ криволінійних фігур і обємів тіл, що обмежені кривими поверхнями. Перше теоретичне узагальнення і обґрунтування методів обчислення площ і обємів, в яких неявно використовувалися граничеі переходи було дано видатним грецьким математиком 4 ст. до н. е. Евдоксом Кнідським. Методо Евдокса було названо в 17 ст. методом вичерпування. В довгій еволюції поняття границі (протягом майже 2500 років) метод вичерпування є першим етапом. Подальший розвиток методу границь відбувався одночасно з розвитком методу неподільних. Його використовували в своїх дослідженнях і вдосконалювали Б. Кавальєрі, А. Такке, Д. Валліс, І. Ньютон, Л. Ейлер та інші математики.

Найбільші результати у перебудові математичного аналізу на основі теорії границь першим отримав О. Коші. Він виступав як новатор в аналізі і, переглянувши основи диференціального і інтегрального числення, побудував свій курс аналізу на більш строгих логічних засадах. Роботи О. Коші з математичного аналізу ґрунтуються на систематичному використання поняття границі, похідної неперервної функції та їх основних властивостей. У своїх лекціях з математичного аналізу, що були прочитані в Політехнічній школі Парижу, а потім викладені у книгах “Курс аналізу” (1821), “Резюме лекцій із числення нескінченно малих” (1823), “Лекції із застосувань аналізу до геометрії” (1826-1828), О. Коші побудував увесь математичний аналіз на основі поняття границі.

В роботі “Курс аналізу” розглядаються елементарні функції дійсної і комплексної змінної, вчення про нескінченні ряди, операції диференціювання та інтегрування, поняття границі та неперервності тощо.

Робота “Резюме лекцій із числення нескінченно малих” присвячена диференціальному та інтегральному численню функцій дійсної змінної. В ній Коші відмовляється від розкладання функцій у нескінченні ряди в усіх випадках, коли тримані ряди не збігаються. Він наголошує, що використання нескінченно малих кількостей спрощує диференціальне числення і допомагає викласти його принципи і найважливіші застосування без допомоги рядів [13].

Інтегральне числення Коші суттєво відрізнялося від курсу Ейлера та інших попередників. В його основу покладено поняття визначеного інтегралу, як границі інтегральної суми. Визначений інтеграл О. Коші розглядав як одне з найважливіших понять аналізу і позначав його символом , що був запропонований Фурє. Саме завдяки О. Коші цей символ увійшов у всезагальне використання і зберігся досі. Автор не просто вводив і використовував це поняття, а й на самому початку лекцій подавав аналітичне доведення існування визначеного інтеграла від неперервної функції.

Теоретичне обґрунтування математичного аналізу О. Коші отримало схвалення науковців і зберігало своє значення до кінця 19 ст. Але і воно ще не було повністю позбавлене недоліків. Багато означень у О. Коші носили описовий характер.

Сучасне означення границі, звільнене від математично незрозумілих термінів, сформував К. Вейєрштрасс. Він повністю арифметизував означення границі і неперервності. Міра близькості аргументів і значень функції у нього виражалася нерівностями, що містили спеціальну символіку . Означеннями К. Вейєрштрасса, сформульованими на мові , ми користуємося і зараз. Побудована ним теорія дійсних чисел, у якій дійсні числа розглядаються як нескінченні десяткові дроби, стала основою системи логічного обґрунтування математичного аналізу.

У галузі математичного аналізу слід відзначити ще й такі результати вченого: систематичне використання верхньої та нижньої меж числових множин, вчення про граничні точки; строге обґрунтування властивостей неперервних функцій; побудова прикладу неперервної функції, яка ніде не має похідної; доведення теореми про можливість розкладання будь-якої неперервної на відрізку функції у рівномірно збіжний ряд многочленів тощо.

Деякі важливі результати в галузі обґрунтування аналізу ще до О. Коші і К. Вейєрштрасса одержав професор філософії релігії Празького університету Б. Больцано. Його математичні досягнення довгий час не були відомі широкому загалу. Це сталося через те, що виступаючи за звільнення своєї Батьківщини (Чехії) від австрійської монархії, Больцано потрапив під таємний нагляд поліції. Його позбавили права публічно виступати і друкуватися, а згодом звільнили з університету. Лише пять робіт з математики побачили світ за його життя, а решта публікувалися через 100 років. Зараз історична справедливість відновлена і деякі теореми математичного аналізу носять подвійне імя: теорема Больцано-Коші і теорема Больцано-Вейєрштрасса [2].

Побудова математичного аналізу на основі арифметики вимагала строгої теорії дійсного числа, що і було зроблено майже одночасно Р. Дедекіндом, К. Вейєрштрассом і Г. Кантором.

Великий внесок у розвиток математичного аналізу 19 ст. М.В. Остроградський. Йому належать найважливіші результати в галузі інтегрального числення функції багатьох змінних: формула, що зводить обчислення потрійного ( і взагалі -кратного) інтегралу до обчислення подвійного (-кратного) інтегралу, загальний прийом інтегрування раціональних функцій, формула перетворення змінних в багатомірних інтегралах і т.ін.

Кінець 19-го початок 20-го століття знаменує завершення формування класичного математичного аналізу і виникнення на його основі різних математичних галузей:

1) Теорія міри та інтеграла.

2) Диференціальні рівняння.

3) Інтегральні рівняння.

4) Комплексний аналіз (теорія функції комплексної змінної).

5) Теорія функції дійсної змінної.

Як бачимо, математичний аналіз пройшов довгий шлях свого формування і на сьогоднішній день є однією з основних галузей математичних наук.