1.1 Несуперечливість системи аксіом евклідової геометрії

Доведення несуперечливості системи аксіом зводиться до побудови хоча б однієї її реалізації (інтерпретації), в якій основні поняття і аксіоми набувають конкретного змісту. Якщо існує хоча б одна така сфера конкретних речей, відношення між якими задовольняють дану аксіоматику, то несуперечливість даної системи аксіом буде такою, якою є несуперечливість обєктів теорії (науки), через які визначаються основні поняття даної системи аксіом. Отже, доведення несуперечливості даної системи аксіом є умовним.

Множина обєктів в яких дана системо аксіом знаходить реальне втілення,називається моделлю або інтерпретацією досліджуваної, системи аксіом .

Для побудови реалізації системи аксіом евклідової геометрії, запропонованої О.В. Погорєловим, візьмемо обєкти множини всих дійсних чисел, тобто основним поняттям і аксіомам цієї системи надамо арифметичний зміст. Така інтерпретація називається декартовою або арифметичною [4,c.100].

Надамо конкретного арифметичного змісту поняттям «точка»,

«пряма», «належати».

Означення 1. Точкою назвемо будь-яку пару дійсних чисел х і у, взятих у певному порядку: (х; у). Числа х і у називатимемо координатами точки.

Означення 2. Прямою назвемо сукупність всіх точок, координати яких задовольняють рівняння , де . Це рівняння називатимемо рівнянням прямої. Прямі х = 0 і у= 0 будемо називати осями координат, а точку (0; 0) - початком координат.

Означення 5.3. Будемо говорити, що точка належить прямій, якщо її координати задовольняють рівняння прямої.

Покажемо, що при такому конкретному розумінні основних понять «точка», «пряма», «належати» для них виконуються аксіоми належності.

1. Доведемо істинність аксіоми І1, яка стверджує, що через дві точки можна провести пряму, і до того ж тільки одну. Нехай і дані точки. Тоді прямою, яка проходить через ці точки, буде пряма, що задається рівнянням , бо координати даних точок задовольняють це рівняння. Доведемо, що ця пряма єдина. Припустимо, що через і проходять дві прямі. Тоді система рівнянь має два розвязки. Але в такому разі вона має безліч розвязків і, отже, ці рівняння лінійно залежні тобто відрізняються лише сталим множником. А це означає, що прямі збігаються, тобто через дві точки не можуть проходити дві різні прямі.

2. Доведемо істинність аксіоми 2, яка стверджує, що на кожній прямій існують принаймні дві точки, і існують три точки які не лежать на прямій.

Нехай - рівняння прямої. Тоді один із коефіцієнтів a і b відмінний від нуля. Нехай, наприклад, . Візьмемо довільні числа і знайдемо числа за формулами

Точки і лежать на даній прямій.

Розглянемо точки (0; 0), (0; 1) і (1; 0). Ці три точки не лежать на одній прямій. Справді, припустимо, що вони лежать на деякій прямій . Підставляючи координати точок у це рівняння послідовно, одержимо с=0;b=0;c=0, що суперечить нашому означенню прямої [1,c.58].

Надамо конкретного арифметичного змісту поняттю «довжина відрізка».

Означення 4. Відстанню між точками (; ), () назвемо число

Означення 5. Довжиною відрізка назвемо відстань між його кінцями.

Тоді виконується аксіома існування відрізка даної довжини. Дійсно, яке б не було дійсне число d > 0. існує відрізок довжини d. Таким відрізком буде, наприклад, відрізок з кінцями в точках (0; 0) і (d; 0), оскільки

Перевіримо виконання аксіоми паралельних, а саме: покажемо, що в декартовій реалізації через точку (х0; y0) яка лежить зовні прямої можна провести не більше однієї прямої, паралельної їй. Припустимо, що існують дві прямі i які проходять через точку (х0; y0) і паралельні даній прямій. Тоді обидві системи рівнянь: i несумісні. Тому їх визначники дорівнюють нулю: .

Звідси випливає, що Оскільки ж система рівнянь

має розвязок (х0; y0),то її рівняння лінійно залежні, тобто відрізняються лише множником. А це означає, що прямі збігаються, що суперечить умові. Аксіома паралельних, таким чином, у декартовій реалізації виконується.

Аналогічно можна показати, що в даній реалізації виконуються всі аксіоми евклідової геометрії, сформульовані О. В. Погорєловим (розділ 4). Перевірку виконання ряду інших аксіом у цій реалізації можна знайти в посібнику [19,c.156].

Ми побудували арифметичну реалізацію системи аксіом евклідової геометрії, надавши основним геометричним поняттям конкретного арифметичного змісту і показавши, що всі аксіоми евклідової геометрії в цій реалізації виконуються. Оскільки аксіоми геометрії у цій реалізації доводилися на основі аксіом арифметики, то питання про несуперечливість системи аксіом евклідової геометрії зводиться до питання про несуперечливість арифметики, тобто евклідова геометрія несуперечлива; якщо несуперечливою є арифметика дійсних чисел. А несуперечливість системи аксіом арифметики підтверджується багатовіковою практикою людства [19,c.157].