Дослідження системи аксіом евклідової геометрії

курсовая работа

1.2 Повнота системи аксіом евклідової геометрії

Питання про повноту системи аксіом тісно повязане з питанням про ізоморфізм всіх її реалізацій.

Означення 6. Дві реалізації R і R деякої теорії Т називаються ізоморфними, якщо між елементами цих реалізацій (що відповідають основним поняттям теорії Т) можна встановити взаємно однозначну відповідність, яка зберігає відношення, встановлені аксіомами [14,c.94].

Теорема 1. Якщо всі реалізації системи аксіом теорії Т ізоморфні, то ця система аксіом повна.

Доведення. Припустимо супротивне: нехай всі реалізації системи аксіом теорії Т ізоморфні, але система аксіом Т неповна. Це означає, що існує деяке твердження a, яке не може бути виведене з аксіом Т і не знаходиться з ними н суперечності. Тоді можна утворити дві несуперечливі системи аксіом і приєднуючи до аксіом Т аксіому або її заперечення .

Нехай і - реалізації систем аксіом і . Кожна з них є одночасно реалізацією Т. Оскільки в T має місце , має місце a , то ці реалізації не ізоморфні. Прийшли до суперечності, яка й доводить теорему.

Теорема 2. Система аксіом евклідової геометрії є повною, тобто не можна приєднати до неї жодних нових аксіом, які б не випливали з уже прийнятих аксіом і не суперечили їм.

Доведення. Згідно з теоремою 1 для доведення даної теореми досить установити ізоморфізм всіх реалізацій системи аксіом евклідової геометрії. Оскільки дві реалізації, ізоморфні третій, є ізоморфними між собою, то досить довести ізоморфізм всіх реалізацій декартовій реалізації. Встановимо такий ізоморфізм.

Нехай R - яка-небудь реалізація системи аксіом евклідової геометрії на площині. Побудуємо аналітичну геометрію, яка відповідає цій реалізації. Введемо на площині прямокутну декартову систему координат точно так, як це робиться в аналітичній геометрії. Тоді кожна пряма на площині буде задаватись лінійним рівнянням . Для відстані між точками виводиться формула

Поставимо тепер у відповідність точці (х; у) декартової реалізації точку реалізації R з координатами х, у; прямій декартової реалізації - пряму в реалізації R, яка задається таким самим рівнянням. Ця взаємно однозначна відповідність між точками і прямими декартової реалізації і точками і прямими реалізації R є ізоморфізмом.

Дійсно, якщо в декартовій реалізації точка А лежить на прямій а і - відповідні точка і пряма в реалізації R, то лежить на прямій а.

Відповідні відрізки декартової реалізації і реалізації R мають однакові довжини, оскільки виражаються однією й тією ж формулою через координати кінців.

Отже, встановлена нами взаємно однозначна відповідність між точками і прямими декартової реалізації і довільної реалізації R -ізоморфізм. Звідси випливає, що всі реалізації системи аксіом евклідової геометрії ізоморфні і, отже, за теоремою 1 система аксіом евклідової геометрії повна [6,c.255].

Делись добром ;)