2.2 Незалежність системи аксіом Г. Вейля

Як уже зазначалось, несуперечлива система аксіом називається незалежною (мінімальною), якщо кожна аксіома даної системи не є логічним наслідком інших аксіом цієї системи.

Нехай - дана система аксіом геометрії. Для доведення, наприклад, незалежності аксіом від аксіом треба побудувати нову систему аксіом де -заперечення аксіоми , і довести її несуперечливість. Якщо аксіома є наслідком аксіом то вона буде наслідком із системи , тобто в цій новій аксіоматиці аксіому можна довести як теорему. Отже, у новій аксіоматиці матимуть місце два суперечливих між собою твердження i , але тоді ця аксіоматика не буде несуперечливою [17,c.157].

Розглянемо декілька прикладів доведення незалежності окремих аксіом Вейля.

1. Доведення незалежності аксіоми 4.1 від аксіом простору.

Треба довести несуперечливість системи аксіом

(1.1-1.4,2.1-2.4, 3.1-3.5, 4.2. 5.1, 5.2}, (1)

де - заперечення аксіоми 4.1.

Для цього використаємо арифметичну реалізацію, побудовану для доведення несуперечливості системи аксіом Вейля простору але внесемо до неї деякі зміни: вектором назвемо будь-яку матрицю-стовпчик , де і - довільні дійсні числа, скалярним добутком векторів i встановленим ненульовим вектором назвемо число

При таких домовленостях всі аксіоми системи (1) виконуються, зокрема аксіома виконується тому, що в даній реалізації не виконується аксіома 4.1, оскільки будь-які три вектори лінійно залежні.

Аналогічно доводиться незалежність аксіоми 4.2.

2. Доведення незалежності аксіоми 1 від аксіом Вейля простору ТЕ3.

Треба довести несуперечливість системи аксіом

{1.1 - 1.4,2.1 - 2.4, 3.1 - 3.5, 4.1 - 4.2, ,5.2} (2)

де - заперечення аксіоми 1.

Використаємо арифметичну реалізацію, побудовану для доведення несуперечливості системи аксіом Вейля простору , але внесемо такі зміни:

1. Точкою назвемо матрицю виду де довільні дійсні числа. При цьому точки i збігаються тоді і тільки тоді, коли ,

2. належність упорядкованих пар точок i вектор визначається умовами У видозміненій у такий спосіб інтерпретації будуть виконуватись всі аксіоми Вейля, крім аксіоми 1. Аксіома 1 не виконується тому, що визначення належності впорядкованої пари точок і вектора числа і не фігурують, вони можуть вибиратись довільно.

3. Доведення незалежності аксіоми 2.

Для доведення належності аксіоми 2 в арифметичній інтерпретації п. 5.3.1 умову належності упорядкованої пари точок і вектора сформулюємо так :

Тоді в такій інтерпретації всі аксіоми Вейля виконуються, крім аксіоми 2, у чому легко переконатися.

Аналогічно можна пересвідчитися у незалежності інших аксіом Вейля. [18,c.140].

евклідовий геометрія аксіома лобачевський