2.3 Повнота системи аксіом Вейля

Як уже зазначалося, для доведення повноти системи аксіом треба показати, що будь-які дві її реалізації ізоморфні між собою.

Для доведення повноти системи аксіом Вейля використаємо декартову реалізацію, оскільки в наслідках з аксіом Вейля зазначалось, що в просторі можна ввести прямокутну декартову систему координат. [19,c.106].

У системі координат координатами точки М простору назвемо координати вектора . При цьому кожній точці М простору ставиться у відповідність упорядкована трійка чисел, причому ця відповідність буде взаємно однозначною.

Якщо точки А і В мають відповідно координати і то вектор матиме своїми координатами числа .

Тепер можна довести, що будь-яка реалізація аксіоматики простору ізоморфна декартовій (арифметичній) реалізації системи аксіом Вейля евклідової геометрії (п. 5.3.1).

Справді, нехай М - деяка довільна реалізація даної аксіоматики. Введемо в цій реалізації прямокутну декартову систему координат і кожній точці, кожному вектору поставимо у відповідність їх координати. Ці ж самі основні обєкти (вектори і точки) в арифметичній реалізації визначені за допомогою дійсних чисел. З правил операцій над векторами і правил визначення координат вектора за координатами його кінцевих точок випливає, що основні відношення між точками і векторами в обох реалізаціях мають однаковий зміст, тобто довільна реалізація М аксіоматики Вейля ізоморфна арифметичній реалізації. Оскільки поняття ізоморфізму має властивість транзитивності, то звідси також випливає, що будь-які дві інтерпретації аксіом Вейля евклідової геометрії ізоморфні між собою.

Отже, система аксіом Вейля евклідової геометрії є повною [4,c.54].