$ 3. Доведення несуперечливості геометрії Лобачевського
Моделлю геометрії Лобачевського називається поверхня або простір, в якому виконуються аксіоми геометрії Лобачевського.
Так як, всі реалізації геометрії Лобачевського ізоморфні, тому твердження доведене в одній моделі геометрії Лобачевського , буде вірно в будь-якій іншій моделі. Тим самим для проведення міркувань можна щоразу вибирати найбільш «зручну» модель. Наприклад, в конформних моделях Пуанкаре, кут між кривими дорівнює евклідовому куту.
У розділі 2 викладено основні факти планіметрії Лобачевського. Хоча значна кількість цих фактів суперечить нашим звичайним уявленням про властивості прямих, трикутників, чотирикутників, але всі вони виводились правильними логічними міркуваннями. Несуперечливість геометрії, системи аксіом, на якій вона побудована, містить гарантію, що при подальшому розвитку геометрії на основі даної аксіоматики не виникнуть суперечливі твердження. [16,c.239].
При створенні нової геометрії Лобачевський користувався відомими фактами геометрії Евкліда, які не є наслідками пятого постулату Евкліда, тобто всі твердження, які не залежать від змісту пятого постулату, є спільною частиною геометрії Евкліда і Лобачевського. Користуючись аксіоматикою Гільберта, якої не було за життя Лобачевського, можна сказати, що спільною частиною обох геометрій є сукупність всіх тверджень, які можна вивести з аксіом перших чотирьох груп системи аксіом Гільберта. Цю спільну частину називають абсолютною геометрією.
Для доведення несуперечливості геометрії Лобачевського, як і інших геометрій, треба побудувати реалізацію системи аксіом, яка складається з аксіом абсолютної геометрії і аксіоми паралельності Лобачевського.
Перша спроба побудови реалізації фактів площини Лобачевського належить італійському геометру Є. Бельгіїрамі (1868), який показав, що в евклідовому просторі є такі поверхні сталої відємної кривини -- псевдосфери, внутрішня геометрія яких збігається з геометрією на площині Лобачевського (локально).
Німецький математик Ф. Клейн удосконалив реалізацію Бельтрамі (1870), і в математиці вона відома під назвою реалізація Бельтрамі -- Клейна [10,c.157].
- ВСТУП
- § 1. Декартова реалізація системи аксіом евклідової геометрії (за О.В. Погорєловим)
- 1.1 Несуперечливість системи аксіом евклідової геометрії
- 1.2 Повнота системи аксіом евклідової геометрії
- 1.3 Незалежність аксіоми існування відрізка заданої довжини
- 1.4 Незалежність аксіоми паралельних
- § 2. Арифметична реалізація векторної системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії
- 2.1 Несуперечливість системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії для простору ТЕ3
- 2.2 Незалежність системи аксіом Г. Вейля
- 2.3 Повнота системи аксіом Вейля
- $ 3. Доведення несуперечливості геометрії Лобачевського
- 3.1 Реалізація Бельтрамі - Клейна
- 3.2 Реалізація Пуанкаре
- ВИСНОВКИ
- Послідовники Піфагора
- Говорячи про несуперечливість системи аксіом, то вона називається незалежною (мінімальною), якщо кожна аксіома даної системи не є логічним наслідком інших аксіом цієї системи.
- 2.3. Повнота системи аксіом Вейля
- 1.2. Повнота системи аксіом евклідової геометрії
- 1.1. Несуперечливість системи аксіом евклідової геометрії
- § 2. Арифметична реалізація векторної системи аксіом г. Вейля евклідової геометрії
- Висновки
- Курсова робота