2. Властивості централізаторів конгруенції універсальних алгебр
Нагадаємо, що клас алгебр сигнатури називається різноманіттям, якщо існує множина тотожностей сигнатури таке, що алгебра сигнатури належить класу тоді й тільки тоді, коли в ній виконуються всі тотожності із множини .
Різноманіття називається мальцевським, якщо воно складається з алгебр, у яких всі конгруенції перестановочні.
Усе алгебри вважаються приналежними деякому фіксованому мальцевському різноманіттю. Використовуються стандартні позначення й визначення з[2].
У даній роботі конгруенції довільної алгебри будемо позначати грецькими буквами.
Якщо - конгруенція на алгебрі , то
суміжний клас алгебри по конгруенції . або - діагональ алгебри .
Для довільні конгруенції й на алгебрі будемо позначати множину всіх конгруенції на алгебрі таких, що
тоді й тільки тоді, коли
Тому що , та множина не порожньо.
Наступне визначення дається в роботі[2].
Визначення 2.1. Нехай і - конгруенції на алгебрі . Тоді централізує (записується: ), якщо на існує така конгруенція , що:
1) з
завжди треба
2) для будь-якого елемента
завжди виконується
3) якщо
те
Під терміном «алгебра» надалі будемо розуміти універсальну алгебру. Всі розглянуті алгебри передбачаються вхідними у фіксоване мальцевське різноманіття .
Наступні властивості отримані Смітом[3], сформулюємо у вигляді леми.
Лема 2.1. Нехай . Тоді:
1) існує єдина конгруенція , що задовольняє визначенню 2.1;
2) ;
3) якщо
те
З леми 2.1. і леми Цорна треба, що для довільної конгруенції на алгебрі завжди існує найбільша конгруенція, що централізує . Вона називається централізатором конгруенції в і позначається .
Зокрема, якщо , те централізатор у будемо позначати .
Лема 2.2. Нехай , - конгруенції на алгебрі , , , . Тоді справедливі наступні твердження:
1) ;
2) , де ;
3) якщо виконується одне з наступних відносин:
4) із завжди треба
Доказ:
1) Очевидно, що - конгруенція на , що задовольняє визначенню 2.1. У силу пункту 1) леми 2.1. і .
2) - конгруенція на , що задовольняє визначенню 2.1. Значить
3) Нехай . Тоді
Застосуємо до останнього трьох співвідношенням мальцевський оператор такий, що
Тоді одержимо
Аналогічним образом показуються інші випадки з пункту 3).
4) Нехай
Тоді справедливі наступні співвідношення:
Отже,
де - мальцевський оператор.
Тоді
тобто .
Тому що
те .
У такий спосіб . Лема доведена.
Наступний результат виявляється корисним при доказі наступних результатів.
Лема. 2.3. Будь-яка підалгебра алгебри , що містить діагональ , є конгруенцією на алгебрі .
Доказ:
Нехай
Тоді з
треба, що
Аналогічним образом з
одержуємо, що
Отже, симетрично й транзитивне. Лема доведена.
Доказ наступного результату роботи [1] містить пробіл, тому доведемо його.
Лема 2.4. Нехай . Тоді для будь-якої конгруенції на алгебрі .
Доказ:
Позначимо й визначимо на алгебрі бінарне відношення в такий спосіб:
тоді й тільки тоді, коли
де
Використовуючи лему 2.3, неважко показати, що - конгруенція на алгебрі , причому
Нехай
Тобто
Тоді
і, значить
Нехай, нарешті, має місце
Тоді справедливі наступні співвідношення:
застосовуючи мальцевський оператор до цим трьох співвідношенням, одержуємо
З леми 2.2 треба, що
Тому що
те
Виходить,
Але , отже, .
Отже,
і задовольняє визначенню 2.1. Лема доведена.
Лема 2.5. Нехай , - конгруенції на алгебрі , і - ізоморфізм, певний на .
Тоді для будь-якого елемента відображення визначає ізоморфізм алгебри на алгебру , при якому .
Зокрема, .
Доказ.
Очевидно, що - ізоморфізм алгебри на алгебру , при якому конгруенції , ізоморфні відповідно конгруенціям і .
Тому що
те визначена конгруенція
задовольняючому визначенню 2.1.
Ізоморфізм алгебри на алгебру індуцирує у свою чергу ізоморфізм алгебри на алгебру такий, що
для будь-яких елементів і , що належать . Але тоді легко перевірити, що - конгруенція на алгебрі , ізоморфна конгруенції .
Це й означає, що
Лема доведена.
Визначення 2.2. Якщо й - фактори на алгебрі такі, що
те конгруенцію позначимо через і назвемо централізатором фактору в.
Нагадаємо, що фактори й називаються перспективними, якщо або
або
Доведемо основні властивості централізаторів конгруенції.
Теорема 6 Нехай , , , - конгруенції на алгебрі . Тоді:
1) якщо , те
2) якщо , те
3) якщо , і фактори , перспективні, те
4) якщо - конгруенції на й , те
де , .
Доказ.
1) Тому що конгруенція централізує будь-яку конгруенцію й , те
2) З першого пункту леми 2.2 треба, що
а в силу леми 2.4 одержуємо, що
Нехай - ізоморфізм . Позначимо
По лемі 2.5 , а по визначенню
Отже,
3) Очевидно, досить показати, що для будь-яких двох конгруенції й на алгебрі має місце рівність
Покажемо що
Позначимо . Тоді, відповідно до визначення 2.1. на алгебрі існує така конгруенція , що виконуються наступні властивості:
а) якщо , те
б) для будь-якого елемента ,
в) якщо
те
Побудуємо бінарне відношення на алгебрі в такий спосіб:
тоді й тільки тоді, коли
Покажемо, що - конгруенція на . Нехай
для . Тоді
Тому що - конгруенція, то для кожної -арної операції маємо
Очевидно, що
Отже,
Очевидно, що для будь-якої пари
Виходить,
Отже, по лемі 2.3, - конгруенція на . Покажемо тепер, що задовольняє визначенню 2.1, тобто централізує . Нехай
Тоді
Тому що , і , те . Отже, задовольняє визначенню 2.1.
Якщо , то
виходить,
Нехай, нарешті, має місце (1) і
Тоді
Тому що й , те, отже, . З (2) треба, що , а за умовою . Виходить, і тому
Тим самим показано, що конгруенція задовольняє визначенню 2.1, тобто централізує .
Доведемо зворотне включення. Нехай
Тоді на алгебрі визначена конгруенція
задовольняючому визначенню 2.1. Побудуємо бінарне відношення на алгебрі в такий спосіб:
тоді й тільки тоді, коли
і , .
Аналогічно, як і вище, неважко показати, що - конгруенція на алгебрі . Помітимо, що з доведеного включення в одну сторону треба, що . Покажемо тому, що централізує .
Тому що
те
тобто задовольняє умові 1) визначення 2.1.
Якщо , то
отже,
Нехай має місце (3) і .
Тому що
те
З (4) треба, що , отже,
тобто
На підставі леми 2.2 містимо, що
Отже, .
А тому що , те, тобто
4) Позначимо . Нехай
і задовольняє визначенню 2.1.
Визначимо бінарне відношення на в такий спосіб
тоді й тільки тоді, коли
Аналогічно, як і вище, неважко показати, що - конгруенція, що задовольняє визначенню 2.1.
Це й означає, що
Теорема доведена.
Як наслідку, з доведеної теореми одержуємо аналогічні властивості централізаторів у групах і мультікільцях.