Евклідова і неевклідова геометрії

дипломная работа

1.1 Історія геометрії

Геометрія - це одна з найдавніших наук. Досліджувати різні просторові форми здавна спонукувало людей їхня практична діяльність. Давньогрецький учений Едем Родоський в IV столітті до нашої ери писала: «Геометрія була відкрита єгиптянами, і виникла при вимірі Землі. Цей вимір було їм необхідно внаслідок розлиття ріки Нил, що постійно змивала границі. Немає нічого дивного, що ця наука, як і інші, виникла з потреби людини».

Уважається, що геометрія почалася в так званої Їонийської школі. Її засновником уважається Фалес Милетський (640-540 (546?) рр. до н.е.). Він уважався одним із семи мудреців Греції, першим математиком, астрономом і філософом. Він довів, що кути при підставі рівнобедреного трикутника рівні, що вертикальні кути рівні, що діаметр ділить окружність навпіл і ще множина теорем. Пророкування затьмарення сонця в 585 році також приписується йому.

Величезний імпульс розвитку цій школі дав Піфагор (569-470 р. до н.е.). В основному про його особисті якості пишуть те ж саме, що й про Фалесе. Але до цього ще можна додати титул чемпіона з боксу на олімпійських іграх - звання, серед математиків рідке.

Незважаючи на всі його досягнення, думку сучасників добре виразив Геракліт: «Багато знання без розуму». Що ж, це було цілком заслужене: Піфагор засекречував відкриття й приписував собі роботи учнів. Піфагор також змушував своїх вихованців виконувати цілий звід дуже дивних правил: наприклад, не доторкатися до білого півня.

Але факт є факт - і одна з теорем Піфагора тепер відома кожному - це теорема про рівність квадрата гіпотенузи сумі квадратів катетів. Ця теорема настільки популярна у світі математиків, що одних тільки доказів нагромадилося 39 штук.

Платон (428-348) знаменитий введенням принципу дедуктивності в математику, або принципу розвитку від простого до складного. Він також знаменитий постановкою трьох задач на побудову. Використовуючи тільки циркуль і лінійку, треба було:

Розділити кут на три частини (задача про трисекцію кута).

Побудувати квадрат, рівний по площі даному колу (задача про квадратуру кола).

Побудувати куб, рівний по обєму даному (задача про подвоєння куба).

Не можливість вирішення цих задач була доведена тільки в 19 столітті, але перед цим вони встигли викликати справжню буру: наприклад, задача №2 викликала появу інтегрального вирахування.

Багато первісних геометричних відомостей одержали також шумеро-вавилонські, китайські й інші вчені найдавніших часів. Установлювалися вони сНачало тільки досвідченим шляхом, без логічних доказів.

Як наука, геометрія вперше сформувалася в Древній Греції, коли геометричні закономірності й залежності, знайдені раніше досвідченим шляхом, були наведені в належну систему й доведені.

Закінчився розвиток традиційної геометрії Евклідом. В III столітті до нашої ери грецький учений привело в систему відомі йому геометричні відомості у великому творі «Начало».

Його книга «Начало» тільки до 1880 року витримала 460 видань, поступившись тільки Біблії. Спосіб побудови став єдино вірним для всіх наукових праць: Перерахування основних, природних понять (Перерахування основних аксіом (Перерахування основних визначень (Формулювання теорем (тверджень) і їхній доказ.

Метод доказу від противного - теж його заслуга. Він же сформулював пять постулатів геометрії:

Через дві крапки можна провести одну й тільки одну пряму.

Пряма триває нескінченно.

З будь-якого центра можна провести окружність будь-яким радіусом.

Всі прямі кути рівні між собою.

Пятий постулат є своєрідним філософським каменем геометрії.

Неевклідова геометрія зявилася внаслідок довгих спроб довести V постулат Евкліда, аксіому паралельності. Ця геометрія багато в чому дивна, незвичайна й багато в чому не відповідає нашим звичним уявленням про реальний світ. Але в логічному відношенні дана геометрія не уступає геометрії Евкліда.

Делись добром ;)