1.3 Аксіоматика Гильберта

Хоча в сучасному аксіоматичному викладі геометрії Евкліда не завжди користуються аксіоматикою Гильберта, приведемо її, як першу повну, незалежну й несуперечливу систему аксіом.

Всі двадцять аксіом системи Гильберта підрозділені на пять груп.

Група I містить вісім аксіом приналежності.

Група II містить чотири аксіоми порядку.

Група III містить пять аксіом конгруентності.

Група IV містить дві аксіоми безперервності.

Група V містить одну аксіому паралельності.

Переходимо до формулювання аксіом по групах. Одночасно будемо вказувати деякі твердження, що випливають із аксіом.

I. Аксіоми приналежності

I, 1. Які б не були дві крапки A і B, існує пряма a, що належать ці крапки.

I, 2. Які б не були дві крапки A і B, існує не більше одній прямій, який належать ці крапки.

I, 3. Кожній прямій a належать принаймні дві крапки. Існують принаймні три крапки, що не належать одній прямій.

Зазначені три аксіоми вичерпують список аксіом приналежності планіметрії. Наступні пять аксіом разом із зазначеними трьома завершують список аксіом приналежності стереометрії.

I, 4. Які б не були три крапки A, B і C, що не належать одній прямій, існує площина ?, що належать ці три крапки. Кожної площини належить хоча б одна крапка.

I, 5. Які б не були три крапки A, B і C, що не належать одній прямій, існує не більше однієї площини, який належать ці крапки.

I, 6. Якщо дві приналежні прямі a різні крапки A і B належать деякій площині ?, те кожна приналежній прямій a крапка належить зазначеній площині.

I, 7. Якщо існує одна крапка A, що належить двом площинам ? і ?, те існує принаймні ще одна крапка B, що належить обом цим площинам.

I, 8. Існують принаймні чотири крапки, що не належать однієї площини.

З метою використання звичної для нас геометричної лексики домовимося ототожнювати між собою наступні вираження: 1) «крапка А належить прямій a (площини б)», 2) «пряма а (площина б) проходить через крапку А» 3) «крапка А лежить на прямій а (площини б)» 4) «крапка А є крапкою прямій а (площини б)» і тому подібні.

Теорема 1. Дві різні прямі не можуть мати більше однієї загальної крапки.

Теорема 2. Дві площини або зовсім не мають загальних крапок, або мають загальну пряму, на якій лежать всі їхні загальні крапки.

Теорема 3. Площина й не лежача на ній пряма не можуть мати більше однієї загальної крапки.

Теорема 4. Через пряму й не лежачу на ній крапку, або через дві різні прямі із загальною крапкою проходить одна й тільки одна площина.

Теорема 5. Кожна площина містить принаймні три крапки.

II. Аксіоми порядку

II, 1. Якщо крапка B прямій а лежить між крапками А и С тієї ж прямої, то А, У и С - різні крапки зазначеної прямої, причому В лежить також і між С и А.

II, 2. Які б не були дві різні крапки А и С, на обумовленій ними прямій існує принаймні вона крапка В така, що З лежить між А и В.

II, 3. Серед будь-яких трьох крапок, що лежать на одній прямій існує не більше однієї крапки, що лежить між двома іншими.

Сформульовані три аксіоми ставляться до розташування обєктів на прямій і тому називаються лінійними аксіомами порядку. Нижче остання аксіома порядку ставиться до розташування геометричних обєктів на площині. Для того, щоб сформулювати цю аксіому, уведемо поняття відрізка.

Пари різних крапок А и В назвемо відрізком і будемо позначати символом АВ або ВА. Крапки прямій, обумовленої А и В, що лежать між ними, будемо називати внутрішніми крапками, або просто крапками відрізка АВ. Інші крапки зазначеної прямої будемо називати зовнішніми крапками відрізка АВ.

II, 4 (Аксіома Паша). Якщо А, У и С - три крапки, що не лежать на одній прямій, і а - якась пряма в площині, обумовленої цими крапками, не утримуюча ні однієї із зазначених крапок і минаюча через деяку крапку відрізка АВ, то ця пряма проходить також або через деяку крапку відрізка АС, або через деяку крапку відрізка ВР.

Підкреслимо, що з одних аксіом порядку II, 1 - 4 ще не випливає, що будь-який відрізок має внутрішні крапки. Однак залучаючи ще аксіоми приналежності I, 1 - 3 можна довести наступне твердження:

Теорема 6. Які б не були дві різні крапки А и В на прямій, ними обумовленої, існує принаймні одна крапка С, що лежить між А и В.

Теорема 7. Серед будь-яких трьох крапок однієї прямої завжди існує одна крапка, що лежить між двома іншими.

Теорема 8. Якщо крапки А, У и С не належать одній прямій і якщо деяка пряма а перетинає які-небудь два з відрізків АВ, ВР і АС, то ця пряма не перетинає третій із зазначених відрізків.

Теорема 9. Якщо В лежить на відрізку АС, і С - на відрізку ВD, то В и С лежать на відрізку АD.

Теорема 10. Якщо З лежить на відрізку АD, а В - на відрізку АС, то В лежить також на відрізку АD, а С - на відрізку BD.

Теорема 11. Між будь-якими двома крапками прямої існує нескінченно багато інших її крапок.

Теорема 12. Нехай кожна із крапок С и D лежить між крапками А и В. Тоді якщо М лежить між С и D, те М лежить і між А и В.

Теорема 13. Якщо крапки С и D лежать між крапками А и В, то всі крапки відрізка СD належать відрізку АВ (у цьому випадку ми будемо говорити, що відрізок СD лежить усередині відрізка АВ).

Теорема 14. Якщо крапка З лежить між крапками А и В, то 1) ніяка крапка відрізка АС не може бути крапкою відрізка CВ, 2) кожна відмінна від Із крапка відрізка АВ належить або відрізку АС, або відрізку СВ.

Зазначені твердження дозволяють упорядкувати множину крапок будь-якій прямій і вибрати на цій прямій напрямок.

Будемо говорити, що дві різні крапки А и В прямій a лежать по різні сторони (по одну сторону) від третьої крапки Про ту ж пряму, якщо крапка Про лежить (не лежить) між А и В.

Із зазначених вище тверджень випливає наступна теорема.

Теорема 15. Довільна крапка Про кожну пряму а розбиває всі інші крапки цієї прямої на два непустих класи так, що будь-які дві крапки прямій а, що належать тому самому класу, лежать по одну сторону від ПРО, а будь-які дві крапки, що належать різним класам, лежать по різні сторони від О.

Таким чином, завдання на будь-якій прямій двох різних крапок О и Е визначає на цієї прямий промінь або напівпряму ОЕ, що володіє тим властивістю, що будь-яка її крапка й крапка Е лежать по одну сторону від О.

Вибравши на прямій а дві різні крапки О и Е, ми можемо тепер визначити порядок проходження крапок на прямій за наступним правилом: 1) якщо А и В - будь-які крапки променя ОЕ, то будемо говорити, що А передує В, якщо А лежить між О и В, 2) будемо говорити, що крапка Про передує будь-якій крапці променя ОЕ, 3) будемо говорити, що будь-яка крапка, що належить тій же прямій і не приналежна лучу ОЕ, передує як крапці ПРО, так і будь-яку крапку променя ОЕ, 4) якщо А и В - будь-які крапки, що не належать лучу ОЕ, то ми будемо говорити, що А передує В, якщо В лежить між А и О.

Легко перевірити, що для обраного нами порядку проходження крапок прямій а справедлива властивість транзитивності: якщо А передує В, а В передує З, те А передує С.

Аксіоми, наведені вище, дозволяють упорядкувати й крапки, що належать довільної площини ?.

Теорема 16. Кожна пряма а, що належить площини б, розділяє не лежачі на ній крапки цієї площини на два непустих класи так, що будь-які дві крапки А и В з різних класів визначають відрізок АВ, що містить крапку прямій а, а будь-які дві крапки А и А з одного класу визначають відрізок АА, усередині якого не лежить жодна крапка прямій а.

У відповідність із твердженням цієї теореми ми можемо говорити, що крапки А и А (одного класу) лежать у площині б по одну сторону від прямій а, а крапки А и В (різних класів) лежать у площині б по різні сторони від прямій а.

III. Аксіоми конгруентності

III, 1. Якщо А и В - дві крапки на прямій а, А - крапка на тій же прямій або на іншій прямій а, то по дану від крапки А сторону прямій а найдеться, і притім тільки одна, крапка В така, що відрізок А конгруентний відрізку АВ. Кожний відрізок АВ конгруентний відрізку ВА.

III, 2. Якщо відрізки А і А”B” конгруентні тому самому відрізку АВ, то вони конгруентні й між собою.

III, 3. Нехай АВ і ВР - два відрізки прямій а, що не мають загальних внутрішніх крапок, А і B - два відрізки тій же прямій, або іншій прямій а, що також не мають загальних внутрішніх крапок. Тоді якщо відрізок АВ конгруентний відрізку А, а відрізок ВР конгруентний відрізку B, те відрізок АС конгруентний відрізку А.

Сформульовані три аксіоми ставляться до конгруентності відрізків. Для формулювання наступних аксіом нам знадобляться поняття кута і його внутрішніх крапок.

Пари напівпрямих h і k, що виходять із однієї й тієї ж крапки О и не лежачих на одній прямій, називається кутом і позначається символом або .

Якщо напівпрямі задаються двома своїми крапками ОА й ОВ, то ми будемо позначати кут символом або . У силу теореми 4 будь-які два промені h і k, тридцятилітні кут , визначають, і притім єдину, площина б.

Внутрішніми крапками будемо називати ті крапки площини б, які, по-перше, лежать по ту сторону від прямої, що містить промінь h, що й будь-яка крапка променя k, і, по-друге, лежать по ту сторону від прямої, що містить промінь k, що й будь-яка крапка променя h.

III, 4. Нехай дані на площині б, пряма а на цій же або на якій-небудь іншій площині б і задана певна сторона площини б відносно прямій а. Нехай h - промінь прямій а, що виходить із деякої крапки О. Тоді на площині б існує один і тільки один промінь k такий, що конгруентний , і при цьому всі внутрішні крапки лежать по задану сторону від прямій а. Кожний кут конгруентний самому собі.

III, 5. Нехай А, У и С - три крапки, що не лежать на одній прямій, А, B і С - інші три крапки, що також не лежать на одній прямій. Тоді якщо відрізок АВ конгруентний відрізку А, відрізок АС конгруентний відрізку А і конгруентний , те конгруентний і конгруентний

Домовимося тепер про порівняння неконгруентних відрізків і кутів.

Будемо говорити, що відрізок АВ більше відрізка А, якщо на прямій, обумовленої крапками А и В, найдеться лежача між цими крапками крапка З така, що відрізок АС конгруентний відрізку АВ. Будемо говорити, що відрізок АВ менше відрізка А, якщо відрізок А більше відрізка АВ.

Символічно той факт, що відрізок АВ менше відрізка А (конгруентний відрізку А) будемо записувати так:

АВ<A (AB=A).

Будемо говорити, що більше , якщо в площині, обумовленої , найдеться промінь ОС, всі крапки якого є внутрішніми крапками , такий, що конгруентний . Будемо говорити, що менше , якщо більше .

За допомогою аксіом приналежності, порядку й конгруентності можна довести цілий ряд теорем елементарної геометрії. Сюди ставляться: 1) три широко відомі теореми про конгруентність (рівності) двох трикутників, 2) теорема про конгруентність вертикальних кутів, 3) теорема про конгруентність всіх прямих кутів, 4) теорема про одиничність перпендикуляра, опущеного із крапки на пряму, 5) теорема про одиничність перпендикуляра, проведеного до даної крапки прямій, 6) теорема про зовнішній кут трикутника, 7) теорема про порівняння перпендикуляра й похилої.

IV. Аксіоми безперервності

За допомогою аксіом приналежності, порядку й конгруентності ми зробили порівняння відрізків, що дозволяє укласти, яким із трьох знаків <, = або > звязані ці відрізки.

Зазначених аксіом, однак, недостатньо 1) для обґрунтування можливості виміру відрізків, що дозволяє поставити у відповідність кожному відрізку певне речовинне число, 2) для обґрунтування того, що зазначена відповідність є взаємно однозначним.

Для проведення такого обґрунтування варто приєднати до аксіом I, II і III дві аксіоми безперервності.

IV, 1 (аксіома Архімеда). Нехай АВ і СD - довільні відрізки. Тоді на прямій, обумовленої крапками А и В існує кінцеве число крапок А₁, А₂, ..., А_n, розташованих так, що крапка А₁ лежить між А и А₂, крапка А₂ лежить між А₁ і А₃, ..., крапка А_n-1 лежить між А_n-2 і А_n, причому відрізки АА₁, А₁А₂, ..., А_n-1A_n конгруентні відрізку CD і крапка В лежить між А и А_n.

IV, 2 (аксіома лінійної повноти). Сукупність всіх крапок довільної прямої а не можна поповнити новими обєктами (крапками) так, щоб 1) на поповненій прямій були визначені співвідношення «лежить між» і «конгруентний», визначений порядок проходження крапок і справедливі аксіоми конгруентності III, 1 - 3 і аксіома Архімеда IV, 1, 2) стосовно колишніх крапок прямій певні на поповненій прямій співвідношення «лежить між» і «конгруентний» зберігали старий зміст.

Приєднання до аксіом I, 1 - 3, II і III, 1- 3 аксіоми Архімеда дозволяє поставити у відповідність кожній крапці довільної прямої а певне речовинне число х, називане координатою цієї крапки, а приєднання ще й аксіоми лінійної повноти дозволяє затверджувати, що координати всіх крапок прямій а вичерпують множину всіх речовинних чисел. Користуючись цим, можна обґрунтувати метод координат.

V. Аксіома паралельності

Сама остання аксіома грає в геометрії особливу роль, визначаючи поділ геометрії на дві логічно несуперечливі й взаємно виключають один одного системи: Евклідову й неевклідову геометрії.

У геометрії Евкліда ця аксіома формулюється так.

V. Нехай а - довільна пряма й А - крапка, що лежить поза прямій а, тоді в площині б, обумовленою крапкою А и прямої а існує не більше одній прямій, що проходить через А и не перетинає а.

Довгий час геометри намагалися зясувати, чи не є аксіома паралельності наслідком всіх інших аксіом. Це питання було вирішено Миколою Івановичем Лобачевским, що довів незалежність аксіоми V від аксіом I - IV.

По-іншому результат Лобачевского можна сформулювати так: якщо до аксіом I - IV приєднати твердження, що заперечує справедливість аксіоми V, те наслідку всіх цих положень будуть становити логічно несуперечливу систему (неевклідову геометрію Лобачевского).

Систему наслідків, що випливають із одних тільки аксіом I - IV звичайно називають абсолютною геометрією. Абсолютна геометрія є загальною частиною як евклідової, так і неевклідової геометрий, тому що всі пропозиції, які можуть бути доведені тільки за допомогою аксіом I - IV, вірні як у геометрії Евкліда, так і в геометрії Лобачевского.

Доказ несуперечності аксіоматики Гильберта

Щоб довести несуперечність якоїсь теорії Х, необхідно з матеріалу інший, свідомо несуперечливої, теорії А побудувати така модель, у котрої виконуються всі аксіоми теорії Х. Якщо ц удасться, теорію Х можна вважати несуперечливої. Отже, для того, щоб довести несуперечність гильбертовой системи, необхідно побудувати таку модель евклідової геометрії, у якій виконувалися б всі аксіоми, запропоновані Гильбертом.

Для побудови такої моделі, необхідна вищезгадана свідомо несуперечлива теорія. У моделі, побудованої Гильбертом, такою теорією служить теорія дійсних чисел. Ідея побудови моделі складалася в розгляді системи координат на площині. У такій системі кожній крапці М площини відповідають два числа х и в - її координати. Щоб зрозуміти суть побудови моделі забудемо про площину й наявної на ній координатній системі, «крапками» будемо називати впорядковані пари дійсних чисел (х; у) тобто пари (х; у) і (в; х) з різними х и в будемо вважати різними. Тепер спробуємо визначити «пряму». Згадаємо, що кожна пряма описується в координатах лінійним рівнянням виду ax + by + c = 0, де хоча б один з коефіцієнтів a і b відмінний від нуля. Наприклад, рівняння прямій, не паралельної осі ординат, має вигляд в = kx + l, або, що те ж саме, ax + by + c = 0, де a = k, b = -1, c = l. Якщо ж пряма паралельна осі ординат, їй відповідає рівняння x = p (тобто рівняння ax + by + c = 0, де a = 1, b = 0, c = -p;). При цьому якщо всі коефіцієнти рівняння ax + by + c = 0 помножити на те саме число k ? 0, те отримане рівняння буде описувати ту ж пряму. Ми ж у своїй моделі будемо називати «прямій» будь-яке лінійне рівняння виду ax + by + c = 0, у якому хоча б один з коефіцієнтів a і b відмінний від нуля, причому коефіцієнти розглядаються з точністю до ненульового множника пропорційності (при k ? 0 рівняння ax + by + c = 0 і (ak)x + (bk)y + kc = 0 уважаються однієї й тій же прямій).

Далі, «крапка» (х₁; в₁) лежить на «прямій», якщо числа х₁ і в₁ задовольняють зазначеному рівнянню. Як бачимо, для визначення «прямих», «крапок» і розташування «крапок» на «прямій» досить обпертися на теорію дійсних чисел. Легко перевірити, що в зазначеній моделі виконуються, наприклад, такі аксіоми:

1. Через дві різні «крапки» проходить «пряма»

2. На «прямій» є не менш двох «крапок»

Легко визначити випадок, при якому одна із трьох «крапок» лежить на «прямій» «між» двома іншими. Коли A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) і C(x₃; y₃) - три «крапки», що лежать на одній «прямій», «крапка» B уважається розташованої «між» A і C за умови, що число x₂ укладено між числами x₁ і x₃ (якщо x₁ = x₂ = x₃, то y₂ укладено між y₁ і y₃). Тоді очевидно, що

3. Із трьох «крапок», що лежать на одній «прямій», одна й тільки одна розташована між двома іншими.

Виконуються й інші аксіоми порядку (зокрема, аксіома Паша). Помітимо, що ми спеціально не ілюструємо зміст аксіом кресленнями, оскільки при чисто аксіоматичному викладі не слід використовувати звичні геометричні подання.

Будемо говорити, що дві «прямі» a₁x + b₁y + c₁ = 0 і a₂x + b₂y + c₂ = 0 «паралельні», якщо коефіцієнти a₁, b₁ і a₂, b₂ пропорційні. Це можна коротко записати рівністю a₁b₂ - a₂b₁ = 0. Неважко перевірити, що дві «паралельні» «прямі» або не мають ні однієї загальної «крапки», або збігаються (у звичайній геометрії теж часто приймають, що пряма паралельна самої собі). Більше того,

4. Через будь-яку «крапку» A₁(x₁; y₁) проходить одна й тільки одна «пряма», паралельна даної «прямій» Ax + By + C = 0.

Інакше кажучи, у зазначеній моделі виконується аксіома паралельності. Можна тут говорити й про довжини відрізків, і про величини кутів. Наприклад, «відстанню» між двома «крапками» A₁(x₁; y₁) і A₂(x₂; y₂) називається число

A₁A₂ =

Далі, у звичній евклідовій геометрії справедлива теорема косинусів:

cos C =

(величина кута З дорівнює арккосинусу правої частини рівності. Можна заперечити, що тригонометричні функції (і, зокрема, косинус) визначаються геометрично й обійтися без звичайної евклідової геометрії в цьому випадку неможливо.

Однак це невірно. У математичному аналізі доводиться, що функція cos x задається нескінченним рядом

cos x = ,

який сходиться для будь-якого дійсного x. Таким чином, у розглянутій моделі припустимо говорити й про відстані, і про величини кутів.

Так само легко перевірити, що в ній виконуються й аксіоми конгруентності (зокрема, перша й друга ознаки рівності трикутників). У підсумку всі гильбертови аксіоми (які виявляють собою розвиток і уточнення аксіом Евкліда) у розглянутій моделі виконуються. Це й означає, що система аксіом евклідової геометрії умовно несуперечлива. Інакше кажучи, вона несуперечлива, якщо несуперечливо теорію дійсних чисел.