§6. Геометрія k-площин в афінному і евклідовому просторах

Визначення k-площини

Нехай в n-мірному афінному просторі U_n зафіксовані довільна крапка А, і у відповідному лінійному просторі L_n зафіксований довільне k-мірний підпростір L_k.

Визначення. Множина всіх крапок М афінного простору, для яких АМ L_k, називають k-мірною площиною, що проходить через крапку А в напрямку підпростором L_k.

Говорять також, що L_k є напрямний підпростір цієї площини. Очевидно, що кожна площина визначає однозначно свій напрямний простір.

Крапку М називають поточною крапкою площини. На малюнку показані три положення М₁, М₂, М₃ поточні крапки М.

Мал. 11, де k = 2

Окремі випадки k-площин

Якщо k = 0, то площина складається з однієї крапки А. Тому кожну крапку афінного простору можна розглядати як нуль-мірну площину.

Одномірна площина називається прямою лінією.

Площина розмірності n - 1 називається гіперплощиною.

При k = n площина збігається з усім простором U_n.

У визначенні площини виділена крапка А. Доведемо, що в дійсності всі крапки площини рівноправні.

Позначимо площину через П_k і зафіксуємо довільну крапку В. Треба довести, що крапка М належить площини П_k тоді й тільки тоді, коли (тобто що будь-яка крапка М може відігравати роль А).

Нехай . По визначенню площини . Звідси й по визначенню підпростору

,

тому . Обернено, якщо , те отже,

.

Мал. 12

Теорема. Усяка k-мірна площина в афінному просторі сама є k-мірним афінним простором.

Доказ. Нехай дане афінний простір U, якому відповідає лінійний простір L, нехай П_k - площина, що проходить через крапку А в напрямку підпростору L_k. Візьмемо в площині П_k дві довільні крапки M, N . По визначенню афінного простору їм відповідає вектор . По визначенню площини вектори АМ і АN належать підпростору L_k.

Отже,

Таким чином, кожній упорядкованій парі крапок М, N площини П_k, поставимо у відповідність вектор MN з k-мірного простору L_k. При цьому дотримуються для П_k аксіоми, що випливають із визначення k-мірної площини й для всього афінного простору U. Теорема доведена.

Зауваження. Якщо площина проходить через початок афінної системи координат у напрямку підпростору L_k, то сукупність радіус-векторів її крапок утворить підпростір, по визначенню співпадаюче з підпростором L_k.

Нехай в афінному просторі U дані крапки А₀, А₁,…,А_k (у числі k + 1). Ці крапки перебувають у загальному положенні, якщо вони не належать ні однієї (k -1)-мірної площини .

Перевіримо, що крапки А₀, А₁,…,А_k перебувають у загальному положенні тоді й тільки тоді, коли вектори А₀А₁,…,А₀А_k лінійно незалежні (мал. 13), причому байдуже, яку із крапок брати в якості А₀ (тобто за початок векторів, що йдуть із її в інші крапки).

Мал. 13

Зі сказаного в цьому пункті й з визначення площини треба, що через систему крапок А₀, А₁,…,А_k, що перебувають у загальному положенні, проходить k-мірна площина й притім тільки одна.

Припустимо, що в просторі U_n зафіксована яка-небудь афінна система координат з початком О и базисом е₁, е₂, …, е_n. Розглянемо площину П_k, що проходить через крапку А в напрямку підпростору L_k.

Будемо вважати, що крапка А має координати р₁, р₂, …, р_n і що L_k задається як незалежна система векторів q₁, q₂, …, q_k... Тоді радіус-вектор ОМ поточної крапки площини можна записати у вигляді

(6.1)

де параметри ф₁, ф₂, …, ф_k незалежно друг від друга пробігають усілякі числові значення, а вектор

(мал. 14)

Мал. 14

Розкладемо вектор q₁, q₂, …, q_k по базисі е₁, е₂, …, е_n:

Координати поточної крапки М позначимо, як звичайно, через (x₁, x₂, …, x_n) і запишемо векторну рівність у координатах. У результаті одержимо n числових рівностей.

(6.2)

Ці рівності називаються параметричними рівняннями площини П_k.

Приклад. Простір, досліджуваний у стереометрії, є тривимірним афінним простором. У ньому одномірні й двовимірні площини збігаються відповідно із прямими лініями й площинами, що розуміються в елементарно-геометричному змісті. На відміну від простору, досліджуваного в елементарній геометрії, в афінному просторі не визначені метричні поняття: відстані між крапками й довжини ліній, площі й обєми фігур, кути й перпендикулярність. При дослідженні фігур в афінному просторі вивчаються лише ті геометричні властивості, які не залежать від метричних понять.

2. Рівняння k-площини по k+1 крапкам

Якщо задані k+1 крапок А₀(х₀), А₁(х₁), …, А_n(х_n) і вектори А₀А_{а =} х_а - х₀ незалежні, те ці крапки визначають єдину k - площина, що проходить через них: у цьому випадку за напрямні вектори цієї площини можна прийняти вектори А₀А_а й векторне рівняння k-площини можна записати у вигляді

(6.3)

Будемо називати k-площину, обумовлену крапками А₀(х₀), А₁(х₁), …, А_n(х_n), k-площиною А₀, А₁, …, А_k.

Випадок k = n-1

Надалі будемо часто мати справа з k-поверхнями й k-площинами при k = n - 1. Говорячи, «поверхня n-простору» і «площина n-простору», але мати на увазі (n - 1)-поверхня й (n - 1)-площина цього простору. Часто поверхня й площина називається відповідно гіперповерхнею й гіперплощиною.

Поверхня можна задати одним координатним рівнянням

(6.4)

якщо координати xⁱ, що задовольняють цьому рівнянню, можна представити як функції n - 1 параметрів t₁, t₂, …, t_n-1, те одержимо

F(x) = 0. (6.5)

3. Взаємне розташування площин

3.1 Пересічні площини

У всім цьому пункті розмірності площин і підпросторів позначені індексами знизу. Нехай дві площини П_k і П_l перетинаються, то їхнім перетинанням є деяка площина П_m.

k = l = 2, m = 1

Мал. 15

Зауваження 1. Не виключена можливість, що П_m складається з однієї крапки (m = 0). Це видно на прикладі двох пересічних прямих або прямій і площині (мал. 16).

Мал. 16

У загальному випадку по одній крапці можуть перетинатися дві площини, сума різниць яких не перевищує розмірності простору, наприклад, двовимірні площини в чотирьохмірному просторі.

Зауваження 2. Не виключене й інше, коли одна із двох площин цілком належить інший. Наприклад, , тоді (мал. 17)

k = m = 1, l = 2

Мал. 17

2) Якщо площини П_k і П_l перетинаються по площині П_m, те існує єдина площина П_r, розмірності r = k + l - m, що містить П_k і П_l, причому ні в якій площині меншої розмірності П_k і П_l не можуть одночасно поміститися. Напрямний підпростір L_r площини П_r є сумою напрямних підпросторів L_k і L_l. Ця сума є прямою сумою тоді й тільки тоді, коли П_k і П_l перетинаються по одній крапці (m = 0, див. мал. 18).

Мал. 18

В окремому випадку, коли n = k + l - m, роль площини П_r виконує весь простір U_n (при r = n = 3 див. мал. 15).

3) Якщо пересічні площини П_k і П_l утримуються в якій-небудь площині П_r, те розмірність їхнього перетинання . Зокрема, для будь-яких двох непересічних площин з U_n.

4) Якщо площини П_k і П_l проходять через крапку А в напрямку підпросторів L_k і L_l відповідно і якщо L_k утримується в L_l, те площина П_k утримується в площині П_l. Якщо при цьому k = l, то П_k збігається з П_l (також і L_k збігається з L_l).

Паралельні площини

Нехай тепер площина П_k визначається крапкою А и підпростором L_k, а площина П_l - крапкою В и підпростором L_l. Будемо вважати, що .

Визначення: Площина П_k паралельна площини П_l, якщо .

У цьому випадку площина П_l паралельна площини П_k.

Зауваження 1. Відповідно до цього визначення включення є часткою случаємо паралельності.

Зауваження 2. Якщо П_k паралельна П_l, причому k = l, то L_k збігається з L_l.

Зауваження 3. Переконаємося, що при n = 3 частки випадки k = l = 1,

k = l = 2 і k =1, l = 2 погодяться з поняттям паралельності прямих і площин, відомим з елементарної геометрії (мал. 19)

Нехай у довільної афінної системі координат дві площини П и П^l однакової розмірності задані системами лінійних рівнянь. Користуючись визначенням паралельності, неважко встановити наступне твердження.

Мал. 19. а) б) в)

Твердження. Для того, щоб П и П були паралельними, необхідно й досить, щоб відповідні однорідні системи рівнянь були еквівалентні.

Зокрема, дві гіперплощини паралельні тоді й тільки тоді, коли в тих самих координатах вони задаються рівняннями

і (6.6)

(6.7)

с пропорційними коефіцієнтами при змінних:

.

Теорема 1. Нехай в афінному просторі U_n дані площина П_k і крапка В. Тоді існує єдина площина розмірності k, що проходить через крапку В паралельно П_k. Якщо , то збігається з П_k; якщо крапка В розташована поза П_k, те площини П_k і не перетинаються.

Перехресні площини

Визначення. Дві площини називаються перехресними, якщо вони не перетинаються й не паралельні.

Відомо, що в тривимірному просторі U₃ дві прямі лінії, тобто одномірні площини, можуть схрещуватися, тоді як пряма лінія й двовимірна площина в U₃ схрещуватися не можуть. З підвищенням розмірності простору воно стає більше просторим, у результаті чого зявляється можливість будувати в ньому перехресні площини різних мір, а не тільки одномірні. Нижче сформульована теорема 2, зміст якої можна розглядати як загальний прийом побудови перехресних площин. Саме, нехай в афінному просторі U_n дана площина П_l (l < n). Візьмемо довільну площину П_k так, щоб П_k і П_l не були паралельні й перетиналися; площина, по якій вони перетинаються, позначимо через П_m. Нехай П_r - площина найменшої розмірності, що містить П_k і П_l. Ми знаємо, що r = k + l - m.

Теорема 2. Якщо , то всяка k-мірна площина, що паралельна П_k і не лежить у П_r, схрещується з П_l.

Наслідок. Якщо цілі числа k, l, m, n задовольняють нерівностям

, , ,

те в U_n найдуться перехресні площини П_k і П_l з напрямними підпросторами L_k і L_l, перетинання яких має розмірність m.

Доказ теореми 2. Тому що

,

те площина П_r не вичерпує собою всього простору U_n. Це дозволяє взяти (з більшою сваволею) крапку З, що не лежить у П_r. Позначимо через площину розмірності k, що проходить через крапку З, паралельно П_k. Ясно, що не втримується в П_r і що, вибираючи по-різному крапку З, ми можемо одержати будь-яку k-мірну площину, що задовольняє умові теореми. (Див. мал. 14, на якому k = l = 2, r = 2, n = 4, і тривимірні площини умовно зображені у вигляді паралелепіпеда).

Мал. 20

Доведемо, що площини П_l і схрещуються. Помітимо, що площина не паралельна П_l, тому що в противному випадку або , або , що суперечить умові розташування площин П_k і П_l.

Тепер доведемо, що й П_l не перетинаються. Проведемо через крапку З допоміжну r-мірну площину , паралельну П_r. Тоді й тому П_k не може перетнути П_l тому що в противному випадку крапка їхнього перетинання належала б паралельним площинам П_r і . Отже, схрещується з П_l. Теорема 2 доведена.

Нехай в n-мірному афінному просторі U_n дані перехресні площини П_k і П_l з напрямними підпросторами L_k і L_l, причому

, .

Теорема 3. Існує єдина площина П_r+1 розмірності , що містить площини П_k і П_l.

Доказ. Візьмемо довільну крапку й зафіксуємо довільну крапку ; позначимо через лінійну оболонку вектора (мал. 16). Допустимо, що існує якась площина , що містить П_k і П_l; нехай - її напрямний підпростір. Очевидно, що повинне містити L_k, L_l і , а отже, і суму цих підпросторів. Позначимо цю суму через L_r+1:

Обернено, якщо - будь-який підпростір, що включає L_r+1, те, що проходить через крапку А в напрямку , буде містити П_k і П_l. Справді, тому що й , те ; тому що , те, тому що

й , те .

Мал. 21

Одержимо серед всіх площин шукану площину П_r+1 мінімальної розмірності r + 1 у тім єдиному випадку, коли в якості береться L_r+1. Підрахуємо r + 1. Із цією метою розглянемо

й позначимо розмірність через р. По теоремі 3 (в n-мірному просторі L є підпростори L_k і L_l, розмірності яких відповідно рівні k і l. Якщо їхнє перетинання має розмірність m, то розмірність їхньої суми L_k + L_l дорівнює r = k + l - m) маємо р = k + l - m.

Покажемо, що

є пряма сума, тому розмірність L_r+1 дорівнює р + 1, тобто

(r + 1) = (k + l - m) +1

Для цього досить показати, що вектор не належить простору . Припустимо противне. Нехай . Тоді по визначенню суми підпросторів існують вектори х и в такі, що

, , . (v)

По першій аксіомі афінного простору найдеться крапка З така, що , причому . По другій аксіомі афінного простору

. (vv)

З огляду на (v), (vv), знаходимо, що , так що . Виходить, що площини П_k і П_l мають загальну крапку З, але це неможливо, оскільки площини П_k і П_l схрещуються. Теорема 3 доведена.

Зауваження. Малюнок 20 лише частково ілюструє теорему 3. Наприклад, якщо розмірності П_k і П_l більше m і різні між собою,

, те, як,

Проведені вище міркування показують, що площини П_k і П_l, про які мова йде в теоремі 3, не втримуються ні в якій площині меншої розмірності, чим r + 1.

Зберігаючи позначення попереднього підпункту, сформулюємо достатню умову перетинання двох площин.

Теорема 4. Якщо в U_n дані площини П_k і П_l, такі, що

,

де m - розмірність перетинання L_m напрямних підпросторів L_k і L_l, то П_k і П_l перетинаються.

Доказ. Крім тривіального випадку, коли яка-небудь із даних площин збігається з усім простором, має

У розташуванні двох даних площин можуть бути лише три можливості:

або П_k паралельна П_l;

або площини П_k і П_l схрещуються;

або вони перетинаються.

Якщо П_k паралельна П_l, то для розмірності m перетинання відповідних їм просторів L_k і L_l маємо m = min (k, l). Теорема доведена.

2. Розмірність різноманіття k-площин

Знайдемо розмірність Р_n,k, різноманіття всіх k-площин n-простору.

Насамперед помітимо, що число параметрів, від яких залежать k+1 крапок M₀, M₁, …, M_k n - простору з лінійно незалежними векторами , через які проходить єдина k-площина, дорівнює числу координат, цих крапок, тобто (k +1)n. Далі помітимо, що число параметрів, від яких залежать ті ж крапки на k-площині, дорівнює числу параметрів цих крапок, тобто (k +1)k.

Тому що в n-просторі, число параметрів, від яких залежать крапки дорівнює сумі числа Р_n,k і числа параметрів, від яких залежать крапки на k-площині, то одержимо, що

, тобто

. (6.7)