Розділ 4. Геометрична ймовірність

Геометрична ймовірність - це поняття ймовірності,що запроваджується так: Нехай ?- деяка підмножина прямої, площини чи простору. Випадкова подія A - підмножина ? . Тоді ймовірність випадкової події визначається формулою: P(A) = m(A)/m(Щ) де m(A) , m(?) - довжина, площа чи обєм множин A та ? .

Використання геометричної ймовірності

Голка Бюффона: Яка ймовірність того, що голка кинута на поверхню розграфлену паралельними прямими розташованими через однакові проміжки перетне одну з цих прямих?

Парадокс Бертрана: Яке мат сподівання довжини випадково обраної хорди на одиничному колі?

Яка ймовірність того, що три випадково обрані на площині точки формують гострокутній трикутник?

Приклад 1:Парадокс Бертрана

Для деякого кола випадковим чином обирається хорда. Знайти ймовірність того, що ця хорда довша за сторони правильного трикутника, вписаного в це коло. Парадокс стверджує що ця ймовірність визначається неоднозначно в залежності від методу.

Рішення:

Метод перший Метод другий Метод третій

Метод перший

Випадковим шляхом (рівномірно) в даному крузі обирається точка. Ця випадкова точка визначає єдину хорду, серединою якої вона є. Ця хорда довша за сторони нашого вписаного правильного трикутника тоді і тільки тоді, коли її середина лежить всередині кола, вписаного в трикутник. Радіус цього кола дорівнює половині радіуса вихідного кола, отже площа його складає 1/4 площі вихідного. Таким чином, ймовірність того, що випадково обрана точка лежить всередині вписаного кола, дорівнює 1/4. Так що цей метод дає відповідь

Метод другий

Виходячи з міркувань симетрії, можна вважати, що одним кінцем хорди є фіксована точка на колі. Нехай цією точкою є вершина вписаного трикутника. Оберемо другий кінець випадково з рівномірним розподілом. Вершини трикутника ділять коло на три рівні дуги, і випадкова хорда довша за сторони правильного трикутника, якщо вона перетинає цей трикутник. Так що шукана ймовірність тепер дорівнює .

Третій метод

Оберемо точку випадковим чином рівномірно на радіусі кола і візьмемо хорду, яка перпендикулярна цьому радіусу і проходить через обрану точку. Тоді випадкова хорда довша за сторони вписаного правильного трикутника, якщо випадкова точка лежить на тій половині радіусу, який ближчий до центра. Виходячи з міркувань симетрії, неважливо який радіус був обраний для побудови, тому шукана ймовірність дорівнює .

Парадокс Бертрана це задача в класичному означенні ймовірності. Джозеф Бертран вперше описав її в своїй праці Calculdesprobabilites (1888) як приклад того, що ймовірність не може бути чітко означена, поки чітко не описаний механізм отримання випадковостей.

Приклад2:

Яка ймовірність Вашої зустрічі з другом, якщо ви домовилися зустрітися в певному місці, з 12.00 до 13.00 годин і чекаєте один одного протягом 5 хвилин?

Рішення:

Позначемо за х і у час приходу , 0 ? х, у ? 60 (хвилин).У прямокутній системі координат цій умові задовольняють точки, що лежать всередині квадрата ОАВС. Друзі зустрінуться, якщо між моментами їх приходу пройде не більше 5 хвилин, тобто

y - x < 5, y >0,

x - y < 5, x > y

Цим нерівностям задовольняють точки, що лежать в областіG, окресленої червоним.

Тоді ймовірність зустрічі дорівнює відношенню площ області G і квадрата, тобто

Відповідь: 0,16.