Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис.3.
(r1 = F1М, r2 = F2М).
Точка М будет находиться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда
r1 + r2 = 2а. (4)
Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить переменные r1 и r2 их выражениями через координаты х, у.
Заметим, что, так как F1 F2 = 2с и так как фокусы F1 и F2 расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (--с; 0) и (+с; 0); учитывая это и применяя формулу расстояния между двумя точками, находим
(5)
Заменяя r1 и r2, получаем:
(6)
Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса, так как ему удовлетворяют координаты точки М (х; у), когда точка М лежит на этом эллипсе. Возведём обе части равенства в квадрат, получим:
или
(7)
Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем:
Откуда
(8)
Здесь мы введем в рассмотрение новую величину
; (9)
Так как по условию а>с, следовательно, и величина b_положительное число. Из равенства (8) имеем
тогда уравнение (8) можно переписать в виде
Разделив обе части этого равенства на a2b2, окончательно получим
. (10)
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса, где а и b - длины большой и малой полуосей эллипса. При a = b фокусы F1 и F2 совпадают, и указанное уравнение определяет окружность, которая рассматривается как частный случай эллипса. Уравнение , определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.
Эксцентриситет эллипса
Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси (Шипачев); обозначив эксцентриситет буквой ?, получаем:
.
Так как с<a, то ?<1, т. е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы.
Заметим, что поэтому
;
отсюда
и
Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1-- ?2, тем меньше, следовательно, отношение ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут вдоль большей оси.(Агапов П.Е.) В случае b=a, уравнение (10) принимает вид:
или .
Это уравнение является уравнением окружности с центром в начале координат и с радиусом равным а. Значит, окружность можно рассматривать как частный случай эллипса, когда полуоси его равны между собой и эксцентриситет равен нулю:
Эксцентриситет эллипса характеризует меру вытянутости эллипса.
Как известно, планеты и некоторые кометы движутся по эллиптическим орбитам. Оказывается, что эксцентриситеты планетных орбит весьма малы, а кометных - велики, т.е. близки к единице. Таким образом, планеты движутся почти по окружности, а кометы то приближаются к Солнцу (Солнце находится в одном из фокусов), то удаляются от него.
Директрисы эллипса
- п.3. Гипербола
- п.4. Парабола
- Размещено на http://www.allbest.ru/
- Размещено на http://www.allbest.ru/
- Размещено на http://www.allbest.ru/
- Размещено на http://www.allbest.ru/
- Размещено на http://www.allbest.ru/
- Размещено на http://www.allbest.ru/
- Размещено на http://www.allbest.ru/
- Рис.1
- Параметрические уравнения окружности:
- Уравнение окружности в полярных координатах: