Розділ І. Числа Фібоначчі

1.1 Історія чисел Фібоначчі

число фібоначчі золотий пропорція

Італійський купець Леонардо із Пізи (1180-1240), відомий як Фібоначчі, був, безумовно, найбільшим математиком доби Середньовіччя. Роль його книг у розвитку математики надзвичайно велика.

Роки життя Леонардо Пізанського припадають на часи, коли Європа прокидалася від середньовічної сплячки. Це була своєрідна репетиція історії перед бурхливим і яскравим спалахом Ренесансу. (Саме слово «Ренесанс» у перекладі з італійської якраз і означає «Відродження».) Відродження високих моральних і естетичних ідеалів античності значною мірою відбулося завдяки італійському купецтву. Саме через нього налагоджувались тісні ділові і культурні звязки з арабським (ісламським) світом, який переживав тоді період розквіту. Прямих звязків з Індією та Китаєм ще не було. Але знаменита подорож італійського купця Марко Поло (1254 - 1324) до Китаю, здійснена ним у 1271- 1295 роках, була не за горами. Все це стало передвістям знаменитого італійського гуманізму, який визначив обличчя усієї європейської цивілізації аж до наших днів.

Купцем був і батько Леонардо Пізанського. Його звали Боначчі (що, до речі, означає «добродушний»). Самого ж Леонардо називали Фібоначчі - від filius Bonacci, що дослівно означає «син Боначчі». Під цим прізвищем Леонардо Пізанський і став відомий як учений. Купець Боначчі у свої зарубіжні подорожі брав і сина. Він найняв для нього вчителів-арабів. Завдяки цьому Леонардо отримав прекрасну освіту. Це, зокрема, дозволило йому постійно перемагати на математичних турнірах, що якраз тоді увійшли в моду і на довгі роки стали неодмінним атрибутом культурного життя Італії.

Тогочасні математичні турніри - це прообраз сучасних математичних «боїв», які організовуються для учнів спеціалізованих фізико-математичних шкіл - щось середнє між математичною олімпіадою та КВК. Правда, учасниками турніру були не команди, а лише два суперники, які по черзі пропонували один одному розвязати математичні задачі.

Саме на цих турнірах і проявилися талант і знання Леонардо, за що він здобув покровительство самого короля. Це сприяло розвитку торгової справи Леонардо, оскільки полегшувало організацію поїздок до Єгипту, Північної Африки, Сирії і Візантії. З іншого боку - забезпечувало йому умови для подальшого зростання як ученого. В чужих країнах Леонардо здобував нові математичні знання. Нарешті, за покровительства Фрідріха ІІ було організовано випуск наукових трактатів Леонардо. І першим серед них стала «Книга абака».

Не дивлячись на свою назву, ця книга присвячена, власне, не абаку, а вміщує відомості практично з усієї тогочасної математики - аж до методів розвязування різноманітних рівнянь. Слово «абак» тоді часто вживалося як синонім до слова «арифметика». І при розгляді усіх цих питань, з першої сторінки і до останньої, Леонардо систематично використовує нову індійську систему нумерації. Кращого способу пропаганди цієї системи годі було і придумати. Ефективність нового способу числення показана на багатьох прикладах розвязування математичних задач найрізноманітнішого змісту. Відтоді індійсько-арабські числа по-справжньому стають європейськими. А «Книга абака» - основною вихідною точкою для розвитку європейської математики. По ній і по її компіляціях вивчали математику аж до часів Декарта (ХVII ст.) та Ейлера (XVIII ст.).

Одна із задач з «Книги абака» (рис.1) Леонардо Пізанського здобула особливу популярність у звязку з тим, що послідовність чисел, яка зявляється в результаті її розвязування, має багато цікавих властивостей, а що найголовніше - неймовірним чином проявляється у найрізноманітніших областях як математики, так й інших наук. Зокрема, саме за цією книгою Європа ознайомилася з індуськими (арабськими) цифрами.

На сторінках даного рукопису Фібоначчі наводить задачу. Ось ця задача: «Хтось помітив пару кроликів у певному місці, огородженому з усіх сторін стіною, щоб дізнатися, скільки пар кроликів народиться при цьому протягом року, якщо природа кроликів така, що через місяць пара кроликів народжує не світ другу пару, а народжують кролики на другий місяць після свого народження».

Рис. 1. Сторінка «Книги абака» Фібоначчі

Нехай перша пара кроликів є новонародженою. Тоді на 2-ий місяць ми все ще матимемо тільки 1 пару. На 3-ій місяць ця пара дасть перше потомство і, отже, вже буде 2 пари. На четвертий місяць матимемо 2 + 1 = 3 пари (з двох наявних пар потомство дасть лише перша). На пятий місяць буде 3 + 2 = 5 пар, на шостий 5 + 3 = 8 (бо потомство дають тільки ті пари, які народилися не пізніше четвертого місяця). і т. д

Ця задача породила найвідомішу з усіх у світі числових послідовностей, яка тоді ще не знала, яку рол відведе їй в історії людства доля. Числа Fn ,що утворюють послідовність 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,... називаються “числами Фібоначчі”, а сама послідовність -послідовністю Фібоначчі. Суть послідовності Фібоначчі в тому, що, починаючи з 1,1, наступне число одержимо складанням двох попередніх чисел.

Людина розподіляє навколишні предмети за формою. Форма, в основі побудови якої знаходяться комбінації симетрії та золотого перерізу, сприяє найкращому зоровому сприйняттю та виникненню відчуття краси та гармонії. Ціле складається з частини різної величини знаходяться у визначеному співвідношенні один до одної та до цілого. Принцип золотого перерізу - найвищий вияв структурної та функціональної досконалості цілого та його частин у мистецтві, науці, техніці та природі. Золотий переріз -це таке пропорційне ділення відрізку на частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як найбільша частина відноситься до меншої; тобто менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього

a : b = b : c або с : b = b : а .

З історії астрономії відомо, що І.Тіціус, німецький астроном XVIII ст., за допомогою послідовності Фібоначчі знайшов закономірність та порядок у відстанях нашої сонячної системи.

У 1997 році декілька особливостей ряду описав російський вчений. Він був переконаний, що Природа (так само і Людина) розвивається за законами, які закладен в цій числовій послідовності. Розвиток цивілізації можна визначити за допомогою різних методів у нумерології. Наприклад, за допомогою приведення складних чисел до однозначних. Проводячи подібну процедуру із всіма складними числами ряду Фібоначчі, було отримано такий ряд цих чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 8, 1, 9. Потім все повторюється 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 4, 8, 8,.. і повторюється знову та знову. Цей ряд також має властивості ряду Фібоначчі; кожний нескінчено наступний член дорівнює сумі попередніх. Виявляється, що цей ряд періодичний, з періодом 24 члени, після чого весь порядок цифр повторюється. Одержавши цей період, він запропонував цікаве припущення - чи не є набір із 24 цифр своєрідним цифровим кодом розвитку цивілізації?

Ральф Нельсон Элліотт (американський фінансист) винайшов сміливе рішення. Якщо практично все в нашому світі базується на коефіцієнтах Фібоначчі, то чому б не використати їх в аналізі посування цін на біржах. Вводячи свій підхід, Элліотт навів думку: “Будь-якій людській діяльності притаманні тpивідмінні особливості: фоpма, час та відношення, -і всі вони підпорядковуються послідовності Фібоначчі”.

Послідовність Фібоначчі залишається математичною кабалою до сьогодні, і кожне нове відкриття проливає новий відблиск на магію цих цифр[21, с.33].