3.3 Формула Эйлера

Приведём пример условно сходящегося ряда и его перестановку, которая уменьшает сумму ряда в два раза.

Установим следующую формулу:

Теорема (Эйлер):

Выполняется равенство:

,

где называется постоянной Эйлера

Доказательство:

Рассмотрим интеграл

Размещено на http://www.allbest.ru/

Воспользуемся тем, что :

По монотонности :

Итак, ряд является положительным и мажорируется сходящимся рядом . Значит, этот ряд сходится.

В выражении при предельном переходе и получаем искомую формулу, обозначая