1. Признак Даламбера
Теорема 1 (признак Даламбера). Пусть дан ряд , где все > 0.Если существует предел
,
то при 0<1 ряд сходится, а при > 1 ряд сходится.
<Пусть существует предел
,
где 0<1. Возьмем q такое, что < q <1. Тогда для любого числа е > 0, например, для
,найдется номер N такой, что для всех n ? N будет выполняться неравенство
< q - ,
В частности, будем иметь
< q - ,
или
< q,
Откуда < q для всех n ? N. Из этого неравенства, придавая n последовательно значения N, N+1,N+2, получим
< q,
< q < q,
< q < q,
………………………….
Члены ряда
+++…
Не превосходят соответствующих членов ряда
q +q +q+… ,
который сходятся как ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем q ,0 < q < 1. По признаку сравнения ряд
+++…
сходится, а значит, сходится и исходный ряд .
В случае > 1, начиная с некоторого номера N, будет выполняться неравенство
> 1, или > > 0.
Следовательно, 0, и ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости. >
Замечание. Если
1,
Или не существует, то признак Даламбера ответа о сходимости или расходимости ряда не дает.
Примеры. Исследовать на сходимость следующие ряды:
1. .
< Для данного ряда имеем
, .
Тогда
.
По признаку Даламбера ряд сходится. >
2. .
< Имеем
, = ;
.
Данный ряд расходится. >
- §3.Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
- 4.3 Знакочередующиеся ряды и знакопеременные ряды
- Знакочередующиеся ряды и знакопеременные ряды
- Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды
- Знакочередующиеся ряды и знакопеременные ряды
- Знакопеременные и знакочередующиеся ряды
- Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды
- Знакопеременные и знакочередующиеся ряды.
- Знакопеременные и знакочередующиеся ряды.