1. Признак Даламбера

Теорема 1 (признак Даламбера). Пусть дан ряд , где все > 0.Если существует предел

,

то при 0<1 ряд сходится, а при > 1 ряд сходится.

<Пусть существует предел

,

где 0<1. Возьмем q такое, что < q <1. Тогда для любого числа е > 0, например, для

,найдется номер N такой, что для всех n ? N будет выполняться неравенство

< q - ,

В частности, будем иметь

< q - ,

или

 < q,

Откуда < q для всех n ? N. Из этого неравенства, придавая n последовательно значения N, N+1,N+2, получим

< q,

< q < q,

< q < q,

………………………….

Члены ряда

+++…

Не превосходят соответствующих членов ряда

q +q +q+… ,

который сходятся как ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем q ,0 < q < 1. По признаку сравнения ряд

+++…

сходится, а значит, сходится и исходный ряд .

В случае > 1, начиная с некоторого номера N, будет выполняться неравенство

> 1, или > > 0.

Следовательно, 0, и ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости. >

Замечание. Если

1,

Или не существует, то признак Даламбера ответа о сходимости или расходимости ряда не дает.

Примеры. Исследовать на сходимость следующие ряды:

1. .

< Для данного ряда имеем

, .

Тогда

.

По признаку Даламбера ряд сходится. >

2. .

< Имеем

, = ;

.

Данный ряд расходится. >