Введение. О происхождении задачи

Задача об удвоении куба со временем стала знаменитой. Эта задача первоначально формулировалась так: построить куб, объем которого был бы в два раза больше объема данного куба. В дальнейшем с помощью алгебраической символики эта задача была сформулирована следующем образом: дан куб с ребром, построить куб с ребром так, чтобы. Затем, став одной из конструктивных задач, она сводилась к построению отрезка на прямой , а при- к построению отрезка .

Как, когда и где возникла эта задача, науке пока неизвестно. Можно только делать предположения по этому поводу. Автор считает, что эта задача могла возникнуть еще задолго до того, как ей начали заниматься древние греки, как задача на построение. Эта задача могла возникнуть из практических потребностей: например, с учетом увеличения в два раза урожая в данном году надо было увеличить в два раза объем хранилища продуктов, имевшего форму куба, или увеличить в два раза вместимость водохранилища кубической формы, оставляя туже форму его.

О практическом у культовом происхождении задачи об удвоении куба говорят и легенды, связанные с этой задачей. В одной из них говорится, что Критский царь Минос приказал архитекторам воздвигнуть памятник своему сыну Главку. Архитекторы сделали памятник кубической формы с ребром, равным локтям. Миносу понравилась форма памятника, но они счел его слишком малым и приказал его удвоить. Архитекторы долго бились над отысканием длины ребра нового куба, но не могли найти ее. Признав свое бессилие, архитекторы обратились за помощью к геометрам, но и геометры не смогли решить эту задачу.

Вторая легенда тоже указывает на своеобразную связь этой задачи с жизнью.

Однажды на острове Делосе, находящемся в Эгейском море, вспыхнула эпидемия чумы. Жители Делоса обратились к знаменитому Дельфийскому оракулу, который служил при храме Аполлона в Дельфах, за помощью и советом. Для прекращения чумы оракул предложил делосцам удвоить жертвенник богу Аполлону (богу солнца), имевший форму куба. Но чума не прекратилась и после того, когда был отлит такой же жертвенник, как первый, и поставлен на него. Тогда делосцы вновь обратились к оракулу с вопросом: почему не прекращается чума, хотя жертвенник всесильному Аполлону удвоен? Оракул им на это ответил: нет, вы не решили поставленной задачи, так как вы, удвоив объем, изменили форму жертвенника. Не меняя формы куба, делосцы не могли его удвоить и обратились за помощью к Платону. Но он уклончиво ответил: боги, вероятно, недовольны вами за то, что вы мало занимаетесь геометрией.

С того времени задачу об удвоении куба стали называть «делосской». Некоторые авторы полагают, что происхождение задачи об удвоении куба связано с желанием обобщить задачу об удвоении квадрата . Но если это верно, то и в этом случае рассматриваемая задача уходит своими корнями в Древний Египет. Древние египтяне умели увеличивать вдвое (приближенно) площадь любой фигуры, не меняя ее формы, пользуясь двумя локтями: в и дюймов. Так как отношение этих локтей 28:20=1,4 то, измерив их настолько, чтобы в новых (подобных) фигурках размеры сторон содержали столько же, но 28 дюймовых локтей, они тем самым увеличивали площадь фигуры, в том числе и квадрата примерно в два раза.

Возможно, что в дальнейшем играло роль и «желание древних обобщить задачу об удвоении квадрата» и перейти от планиметрической задачи к стереометрической. Но такое желание могла возникнуть на достаточно высокой ступени развития геометрической алгебры, когда грекам было известно уже, что извлечение корня из произведения двух величин а, bсводится к построению отрезка , т.е среднего геометрического между отрезками и b. В частности, при они могла получить, откуда и а. После этого могла возникнуть мысль о том, что извлечение кубического корня из, т.е. построение сводится к построению двух средних геометрических величин между двумя данными величинами.

Но чтобы прийти к выводу, что решение этой задачи сводится к построению двух среднегеометрических между отрезками и, т.е., для этого математические знания должны быть уже на достаточно высоком уровне. В это время (в. до н.э.) действительно намечен был указанный путь, как один из подходов к решению задачи, но возникла она, вероятно, значительно раньше, как практическая задача.

О том, кто и как пытался решать эту задачу в Древней Греции, мы знаем, главным образом, из комментария Евтокия к произведению Архимеда «О шаре и цилиндре», чем мы и воспользуемся в дальнейшем.