Зображення дійсних чисел

курсовая работа

1.1 Історія становлення поняття дійсного числа

Перша розвинена числова система, побудована в Стародавній Греції, включала тільки натуральні числа і їхні стосунки ( пропорції, у сучасному розумінні - раціональні числа). Однак незабаром зясувалося, що для цілей геометрії та астрономії цього недостатньо: наприклад, відношення довжини діагоналі квадрата до довжини його сторони не може бути представлено ні натуральним, ні раціональним числом.

Для виходу з положення Евдокс Кнідський ввів, на додаток до чисел, більш широке поняття геометричної величини, тобто довжини відрізка, площі або обєму. Теорія Евдокса дійшла до нас у викладі Евкліда ( "Початки", книга V). По суті, теорія Евдокса - це геометрична модель дійсних чисел. З сучасної точки зору, число при такому підході є відношення двох однорідних величин - наприклад, досліджуваної і одиничного еталона. Слід, однак, підкреслити, що Евдокс залишився вірним колишньої традиції - він не розглядав таке відношення як число; через це в "Засадах" багато теореми про властивості чисел потім заново доводяться для величин. Класична теорія Дедекинда для побудови дійсних чисел за своїми принципами надзвичайно схожа на виклад Евдокса. Однак модель Евдокса неповна у багатьох відносинах - наприклад, вона не містить аксіоми безперервності, немає загальної теорії арифметичних операцій для величин або їх відносин та ін .

Ситуація почала змінюватися в перші століття н. е.. Вже Діофант Олександрійський, всупереч колишнім традиціям, розглядає знаки так само, як і натуральні числа, а в IV книзі своєї "Арифметики" навіть пише про один результаті: "Число виявляється не раціональним". Після загибелі античної науки на передній план висунулися індійські і ісламські математики, для яких будь-який результат вимірювання або обчислення вважався числом. Ці погляди поступово взяли верх і в середньовічній Європі , де спочатку розділяли раціональні та ірраціональні (буквально: нерозумні) числа (їх називали також уявними, абсурдними, глухими і т. п.). Повне рівняння в правах ірраціональних чисел повязане з працями Симона Стевіна (кінець XVI століття), який проголосив: «Ми приходимо до висновку, що не існує ніяких абсурдних, ірраціональних, неправильних, непояснених або глухих чисел, але що серед чисел існує таке досконалість і злагода, що нам треба міркувати дні і ночі над їх дивовижною закінченістю »[11].

Він же, з деякими застереженнями, легалізував негативні числа, а також розвинув теорію і символіку десяткових дробів, які з цього моменту починають витісняти незручні шестидесятеричной.

Через сторіччя Ньютон у своїй " Універсальної арифметиці "( 1707) дає класичне визначення (речового) числа як відношення результату вимірювання до одиничного еталону: «Під числом ми розуміємо не стільки безліч одиниць, скільки абстрактне відношення якої-небудь величини до іншої величини того ж роду, прийнятої за одиницю»[21].

Довгий час це прикладне визначення вважалося достатнім, так що практично важливі властивості дійсних чисел і функцій не доводили, а вважалися інтуїтивно очевидними (з геометричних або кінематичних міркувань). Наприклад, вважався самоочевидним той факт, що безперервна крива, точки якої розташовані по різні сторони від деякої прямої, перетинає цю пряму. Суворе визначення поняття безперервності також відсутнє. Як наслідок, чимало теорем містили помилки, нечіткі або надмірно широкі формулювання.

Навіть після того, як Коші розробив досить строгий фундамент аналізу, положення не змінилося, оскільки теорії дійсних чисел, на яку зобовязаний був спиратися аналіз, не існувало. Через це Коші зробив чимало помилок, поклавшись на інтуїцію там, де вона приводила до невірних висновків: наприклад, він вважав, що сума ряду з безперервних функцій завжди неперервна.

Першу спробу заповнити прогалину в підставах математики зробив Бернард Больцано в своїй статті "Чисто аналітичний доказ теореми, що між будь-якими двома значеннями, що дають результати протилежного знаку, лежить щонайменше один дійсний корінь рівняння" ( 1817) ,[11]. У цій піонерської роботі ще немає цілісної системи речових чисел, але вже наводиться сучасне визначення безперервності і показується, що на цій основі теорема, згадана в заголовку, може бути строго доведена . В більш пізній роботі Больцано дає начерк загальної теорії дійсних чисел, за ідеями близькою до канторовской теорії множин , але ця його робота залишилася неопублікованою за життя автора і побачила світ тільки в 1851 році. Погляди Больцано значно випередили свій час і не привернули уваги математичної громадськості.

Сучасна теорія дійсних чисел була побудована в другій половині XIX століття, в першу чергу працями Вейерштрасса, Дедекинда і Кантора. Вони запропонували різні, але еквівалентні підходи до теорії цієї найважливішої математичної структури і остаточно відокремили це поняття від геометрії та механіки.

Делись добром ;)