1.1. Определение - алгебры.

Определение 1.1. Совокупность А элементов x, y, … называется алгеб-
рой, если:

1) А есть линейное пространство;

2) в А введена операция умножения (вообще некоммутативного), удовлет-
воряющая следующим условиям:

б (x y) = (б x) y,

x (б y) = б (x y),

(x y) z = x (y z),

(x + y) = xz +xy,

x (y + z) = xy + xz для любых x, y, z А и любых чисел б.

Два элемента x, y алгебры А называются перестановочными, если xy = yx. Алгебра А называется коммутативной, если все ее элементы попарно пере-
становочны.

Определение 1.2. Пусть А - алгебра над полем С комплексных чисел. Инволюцией в А называется такое отображение x ? x* алгебры А в А, что

(i) (x*)* = x;

(ii) (x + y)* = x* + y*;

(iii) (б x)* = x*;

(iv) (x y)* = y*x* для любых x, y С.

Алгебра над С, снабженная инволюцией, называется инволютивной алгеброй или *- алгеброй. Элемент х* называют сопряженным к х. Подмножество А, сохраняющееся при инволюции, называется само-
сопряженным.

Из свойства (i) следует, что инволюция в А необходимо является биекцией А на А.