3.1 Теоретические сведения

3.2 Практическая работа

Введение

статистика доверительный интервал регрессионный

Целью данной работы является изучение методов анализа экспериментальных данных на ряде конкретных примеров, в частности, построении гистограмм, расчете доверительных интервалов, использовании критерия согласия хи-квадрат Пирсона при проверке гипотез (этим задачам посвящена первая часть работы). Во второй части работы для выделения тренда использован классический регрессионный анализ (метод МНК).

Приобретённые в ходе выполнения работы навыки часто весьма востребованы в инженерной деятельности, а техническая и экономическая целесообразность подобных исследований очевидна.

1. Постановка задачи

Работа состоит из двух частей. В первой части приводится обзор методов точечного и доверительного оценивания параметров закона распределения, критериях согласия (в частности, ч² - Пирсона), и четыре задачи, объединённые общей идеей. Во второй части, посвященной классическому регрессионному анализу, содержится обзор классических методов МНК и результаты модельного эксперимента по выделению тренда, выполненного в пакете MathCAD.

Часть 1

1. Случайная величина имеет нормальное распределение с неизвестными математическим ожиданием а и дисперсией .

При выборке (к₁, к₂, …, к_N) объёма N = 28 вычислены оценки неизвестных параметров

Найти доверительный интервал для математического ожидания а при доверительной вероятности = 0,9.

2. В условиях задачи № 1 найти доверительный интервал для дисперсии D при доверительной вероятности = 0,99

(N = 10, ).

3. В серии из N = 100 выстрелов по мишени наблюдалось m = 8 попаданий. Найти доверительный интервал для вероятности p попадания в мишень при доверительной вероятности= 0, 95.

4. Дана выборка из N =100 значений.

Требуется:

а) найти статистический ряд;

б) построить гистограмму и полигон частот;

в) найти оценки для математического ожидания и дисперсии;

г) считая распределение генеральной совокупности нормальным, найти границы доверительного интервала для математического ожидания и дисперсии при надёжности = 0,95;

д) проверить с помощью критерия гипотезу о том, что выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением равными соответственно статистическому среднему и статистическому среднему квадратичному отклонению. Уровень значимости принять равным = 0,05.

Часть 2

В MathCAD (вне зависимости от версии) имеются датчики (генераторы) случайных чисел с разнообразными законами распределения. В частности, rnorm(m,м,у) возвращает вектор m случайных чисел, имеющих нормальное распределение с математическим ожиданием м и среднеквадратическим отклонением у. Мы будем использовать rnorm(m,0,1) -- датчик нормальных случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсий.

Пусть истинный тренд имеет вид

Тогда сумма тренда и шума с фиксированной амплитудой, имеет вид:

2. Интервальное оценивание параметров. Критерий согласия Пирсона