4.1 Метод Рунге-Кутта.

Метод Рунге-Кутта-один из наиболее употребительных методов повышенной точности [2].

Пусть требуется найти численное решения (1), удовлетворяющее условию (2).Предположим, что в точке x известно y(x); пусть h>0. Обозначим Дy(x)=y(x+h)-y(x), где y(x+h) надо вычислить. Представим разность Дy(x) в виде суммы "поправок" kj с коэффициентами pj:

Дy=p1k1+ p2k2+…+ prkr (17)

Где k1=hf(x,y)

k2=hf(x+ б2h,y+ в21 k1)

………………………….

kr=hf(x+ бrh,y+ вr1 k1+ вr2 +…+ вrr-1 kr-1)

Коэффициенты pj, бj, вji получаются при сравнении разложения Дy и ki по степеням h

В случае r=4, получим ф-лы (18):

k1=hf(x,y),

k2=hf(x+h/2,y+k1/2), (18)

k3=hf(x+h/2,y+k2/2),

k4=hf(x+h,y+k3)

Дy=(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4) (19)

При x=x0 с помощью формул (17-19) находим y1=y0+ Дy0.

Аналогично получаем последующие приближения:

y(i+1)=yi+ Дyi (i=1,2,3,…) (20)

где

Дyi=(1/6)*(k1(i)+2*k2(i)+2*k3(i)+k4(i)), (21)

k1(i)=hf(xi,yi);

k2(i)=hf(xi+h/2,yi+ k1(i)/2);

k3(i)= hf(xi+h/2,yi+ k2(i)/2); (22)

k4(i)= hf(xi+h/2,yi+ k3(i)/2);

Для уравнения

Верна следующая оценка погрешности метода Рунге-Кутта:

где M и N-постоянные,такие, что в области |x-xo|<a, |y-yo|<b

выполняются неравенства

Метод Рунге-Кутта применим также к системам дифференциальных уравнений первого порядка. Пусть дана система двух уравнений

С начальными условиями:

Определяя параллельно числа лn и мn по формулам

лn=(1/6)* (k1+2*k2+2*k3+k4)

мn=(1/6)* (l1+2*l 2+2*l3+l4)

где

k1=hf(xn,yn,zn);

k2=hf(xn+h/2,yn+k1/2,zn+l1/2);

k3= hf(xn+h/2,yn+k2/2,zn+l2/2);

k4=hf(xn+h,yn+k3,zn+l3);

l1=hg(xn,yn,zn);

l2=hg(xn+h/2,yn+k1/2,zn+l1/2);

l3=hg(xn+h/2,yn+k2/2,zn+l2/2);

l4=hg(xn+h,yn+k3,zn+l3);

находят

y(n+1)=yn+ лn, z(n+1)=zn+ мn. (29)

Метод Рунге-Кутта применяется также при решении обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков.