1.3 Явные методы Рунге-Кутта

Свойства методов Рунге-Кутта:

1. Методы являются одношаговыми; чтобы найти X^m+1 , нужна информация только о предыдущей точке X^m, t_т.

2. Они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка h^s, где степень S различна для различных методов и называется порядком метода.

3. Методы не требуют вычисления производных функций f_i (X,t), i=1,n, а только самой функции в нескольких точках на шаге h_m .

Методом Рунге-Кутта 1-го порядка является явный метод Эйлера:

Х^/ =F(Х, t) ;

X^m+1 = X^m + h_m ·F (X^m, t_m)

Ошибка аппроксимации е^б ~ h²_т. Область абсолютной устойчивости - круг радиусом, равным 1 и центром в точке (0, -1) - см. рис. 1.3, кривая 1; область относительной устойчивости - вся правая полуплоскость.

Рассмотрим методы Рунге-Кутта 2-го и 4-го порядка, которые также используются довольно часто.

Алгоритм метода Рунге-Кутта 2-го порядка состоит в следующем:

X^m+1 = X^m + (h_m/2)·(K₁ + K₂), где

K₁= F(X^m, t_m), K₂= F(X^m + h_m·K₁, t_m + h_m).

Ошибка аппроксимации е^б=kh³_т. Область абсолютной устойчивости показана на рис. 1.3 (кривая 2). Область относительной устойчивости - вся правая полуплоскость.

Алгоритм метода Рунге-Кутта 4-го порядка:

X^m+1 = X^m + (h_m/6) · (K₁ + 2K₂ + 2K₃ + K₄), где

K₁= F(X^m, t_m), K₂= F(X^m + (h_m/2)·K₁, t_m + h_m/2);

K₃= F(X^m + (h_m/2) ·K₂, t_m + h_m/2);

K₄= F(X^m + h·K₃, t_m + h_m);

Ошибка аппроксимации е^б=kh⁵_т. Область абсолютной устойчивости показана на рис. 1.3 (кривая 3). Область относительной устойчивости - вся правая полуплоскость.

1

2

3

Рис. 1.3