Исследование метода продолжения решения по параметру для нелинейных САУ
1. Постановка задачи (математическое описание метода)
Метод продолжения решения по параметру является наиболее универсальным при решении нелинейных САУ. Пусть t - параметр, меняющийся от 0 до1. Введем в рассмотрение некоторую САУ
H (x, t) =0,
такую, что:
1) При t=0 система H (x, 0) =0 имеет решение x0;
2) При t=1 система H (x, 1) =0 имеет решение x*;
3) Вектор-функция H (x, t) непрерывна по t. Тогда меняя t от 0 до 1 и решая для каждого ti систему H (x, ti) =0, например, методом Ньютона, можно найти последовательно x0, x1, x2, …, x*.
Так как x0 при t=0 известно, то всегда можно найти t1, достаточно близкое к t0, при котором будут выполняться условия сходимости, например, метода Ньютона. Аналогично можно обеспечить условия сходимости метода Ньютона и для t2, t3,…, t=1.
Вектор-функция H (x, t) может быть выбрана различными способами. Рассмотрим три распространенных варианта:
1) H (x, t) =F (x) + (t-1) *F (x0) =0
При t=0 получаем: F (x0) - F (x0) =0, т.е. условие 1) выполнено.
При t=1 F (x*) - (1-1) * F (x0) =F (x*) =0. И, наконец, вектор-функция H (x, t) непрерывна по t.
2) H (x, t) =t*F (x).
Условия 1) - 3) соблюдаются и для этой вектор-функции.
Идея метода состоит в следующем. Полагаем t1=?t и решаем систему H (x, t1) =0 при выбранном x0. Получаем xt1. Далее, берем его в качестве начального приближения и решаем при новом t2=t1+?t систему H (x, t2) =0, получаем xt2 и так далее до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность. Нелинейные системы H (x, ti) =0 на каждом шаге по t решаются, например, методом Ньютона, который обычно сходится, так как xti-1 и xti лежат близко друг к другу. Если несмотря на это решение xti не получается за 6-7 итераций, ?t уменьшается и система H (x, ti) =0 решается снова.
Последовательность шагов реализации алгоритма состоит в следующем:
Шаг 1. Формирование системы H (x, t) =0.
Шаг 2. Выбор начального приближения x0, (например, x0=0) и точности решения еgon.
Шаг 3. Полагаем i=1.
Шаг 4. Вычисляем ti=ti-1+?t (обычно вначале берут ?t=0,1)
Шаг 5. Решаем систему H (x, ti) =0. Получаем вектор xti. При этом считаем число итераций m. Если m>10, значит метод Ньютона уже не сойдется, так как xti-1 и xti слишком далеки друг от друга. Тогда надо уменьшить ?t в два раза и вернуться к шагу 4. Будем считать, что xti найдено.
Шаг 6. Проверяем, достигли ли мы заданной точности. Например, используя первый способ,
|| xti-xti-1 || ? еgon.
Если последнее условие не соблюдается, то переходим к шагу 4. Иначе считаем, что x*=xti и расчеты закончены.