Введение

В данной дипломной работе мною будет рассмотрен метод Фроммера - эффективный геометрический метод для определения характера интегральных кривых. Этот метод достаточно сложный и имеет недостатки, связанный с громоздкостью исследований, но с другой стороны является эффективным.

Исследование поведения интегральных кривых дифференциального уравнения

(1)

в окрестности изолированной особой точки, которой является начало координат, проводятся при некоторых ограничения на функцию

Один из основных методов исследования предложен Брио и Буке в предположении, что

(2)

где P и Q - ряды, сходящиеся по целым неотрицательным степеням x и y в некоторой окрестности начала координат. Они показывают, что всякое уравнения (1) при условии (2) с помощью локальных замен можно свести к некоторому числу уравнений вида

(3)

где m - целое положительное число, - ряд, сходящийся по целым неотрицательным степеням x и y в некоторой окрестности начала координат, . Уравнение (3) всегда (кроме m=1, - натуральное) имеет единственное решение в виде формального ряда

,

который сходится, если m=1, и может расходится, если m >1.

При аналогичных ограничениях рассматривается метод Горна. Эффективный геометрический метод для определения характера интегральных кривых дал М.Фроммер. При этом правая часть

уравнения (1) рассматривается при несколько более общих ограничениях: P и Q - алгеброидные функции. Исследования проводятся с помощью преобразований, и . Строгое изложение метода было дано А.Ф.Андреевым.

Этот метод имеет недостатки, связанные с громоздкостью исследований, но в аналитическом случае топологическая структура интегральных кривых устанавливается конечным числом шагов. При этом методы Брио - Буке и Фроммера равносильны. В случае если P и Q - непрерывные однородные функции, уравнение (1) приводится к виду

, n >0, который исследован Е.В.Воскресенским.

В настоящей работе предлагается метод исследования поведения интегральных кривых уравнения (1), когда непрерывна в области O(0,0), D - некоторая окрестность начала координат, O(0,0)- изолированная особая точка. В случае, когда правая часть уравнения (1) удовлетворяет ограничению (2), излагаемый метод переходит в метод Фроммера.