Исследование устойчивости относительно части переменных в критическом случае пары чисто мнимых и одного нулевого корней

дипломная работа

6. Уменьшение числа рассматриваемых переменных в относительной устойчивости

Рассмотрим такую систему уравнений возмущенного движения:

(6.1)

Рассматриваем область (6.2)

функции непрерывные вместе со своими производными, ограниченные по совокупности переменных в области (6.2)

Функции также разложимы в степенные ряды в области (6.2) по степеням , в которых коэффициенты зависят от совокупности . При этом имеют порядок разложения, начиная со второго.

Здесь постоянные, таковы, что характеристическое уравнение

(6.3)

имеет корни только с отрицательными действительными корнями.

Условие (6.4): Все правые части ограничены по модулю константой , все их частные производные ограничены константой .

Теорема (6.5): Рассмотрим систему (6.1) с наложенными на нее ограничениями.

Если невозмущенное движение системы устойчиво, устойчиво равномерно асимптотически, или неустойчиво относительно , то невозмущенное движение системы (6.1) будет соответственно устойчиво, устойчиво равномерно асимптотически (при вып. усл. 6.4), или неустойчиво относительно

Замечание:
Равномерность асимптотической устойчивости требуется для выполнения теоремы о существовании функции [2 п.14.2]. Равномерность будет выполняться, например, в теореме об асимптотической устойчивости [2 п.6.2].

Доказательство:

1) Рассмотрим для начала устойчивость.

Пусть невозмущенное движение системы (6.1) устойчиво относительно . Тогда, согласно теореме о существовании функции Ляпунова [2 п.13.1], в области существует , такая что:

Где , обращается в ноль только при

(что означает, что определенноположительная по )

И ее производная в силу (6.1):

Рассмотрев устойчивость невозмущенного движения системы (6.1) относительно , заметим, что оно будет устойчиво по линейному приближению. [2 п.35.5]

Для этого нужно выполнение следующих условий:

А) Все корни характеристического уравнения (6.3) должны иметь отрицательные действительные части

Б) ,

Эти условия, очевидно, выполняются.

Значит, в области существует , такая, что:

Где , обращается в ноль только при

(что означает, что знакоопределенная положительная по )

И ее производная в силу (6.1):

Перейдем тогда в область , что является сужением области (6.2) и составим функцию

будет обращаться в ноль только при , что соответственно означает, что знакоопределенная по совокупности .

И ее производная , тогда по теореме об устойчивости по части переменных [2 п.5.1], невозмущенное движение системы (6.1) устойчиво.

2) Теперь рассмотрим асимптотическую устойчивость.

Пусть невозмущенное движение системы (6.1) устойчиво равномерно асимптотически. И выполняется условие (6.4).

Тогда, согласно теореме о существовании функции Ляпунова [2 п.14.2], существует

в области существует , такая, что:

Где принадлежат классу . Что означает, они непрерывные, строго возрастающие и обращаются в ноль только в нуле.

Согласно теореме о линейном приближении[2 п.35.5], невозмущенное движение системы (6.1), вообще говоря, асимптотически устойчиво. Функция Ляпунова в этой теореме , а ее производная . При этом, так как зависит только от можно подобрать такую , что можно записать.

Где принадлежат классу .

существует в области , а существует в области .

Пусть б.о.о.

Тогда в области построим .

Пусть тогда:

Так как:

Пусть вектор составлен из координат и .

Пусть , , и они также принадлежат классу .

И поскольку они строго возрастающие очевидно:

А функцию , подберем из класса так, чтобы она была больше, чем сумма, причем чтобы выполнялось .

Тогда движение будет равномерно асимптотически устойчиво.

3) Случай неустойчивости тривиален. Если невозмущенное движение системы (6.1)

неустойчиво относительно , то решение системы (6.1) очевидно также будет неустойчиво относительно .

Делись добром ;)