Исследование устойчивости относительно части переменных в критическом случае пары чисто мнимых и одного нулевого корней
6. Уменьшение числа рассматриваемых переменных в относительной устойчивости
Рассмотрим такую систему уравнений возмущенного движения:
(6.1)
Рассматриваем область (6.2)
функции непрерывные вместе со своими производными, ограниченные по совокупности переменных в области (6.2)
Функции также разложимы в степенные ряды в области (6.2) по степеням , в которых коэффициенты зависят от совокупности . При этом имеют порядок разложения, начиная со второго.
Здесь постоянные, таковы, что характеристическое уравнение
(6.3)
имеет корни только с отрицательными действительными корнями.
Условие (6.4): Все правые части ограничены по модулю константой , все их частные производные ограничены константой .
Теорема (6.5): Рассмотрим систему (6.1) с наложенными на нее ограничениями.
Если невозмущенное движение системы устойчиво, устойчиво равномерно асимптотически, или неустойчиво относительно , то невозмущенное движение системы (6.1) будет соответственно устойчиво, устойчиво равномерно асимптотически (при вып. усл. 6.4), или неустойчиво относительно
Замечание:
Равномерность асимптотической устойчивости требуется для выполнения теоремы о существовании функции [2 п.14.2]. Равномерность будет выполняться, например, в теореме об асимптотической устойчивости [2 п.6.2].
Доказательство:
1) Рассмотрим для начала устойчивость.
Пусть невозмущенное движение системы (6.1) устойчиво относительно . Тогда, согласно теореме о существовании функции Ляпунова [2 п.13.1], в области существует , такая что:
Где , обращается в ноль только при
(что означает, что определенноположительная по )
И ее производная в силу (6.1):
Рассмотрев устойчивость невозмущенного движения системы (6.1) относительно , заметим, что оно будет устойчиво по линейному приближению. [2 п.35.5]
Для этого нужно выполнение следующих условий:
А) Все корни характеристического уравнения (6.3) должны иметь отрицательные действительные части
Б) ,
Эти условия, очевидно, выполняются.
Значит, в области существует , такая, что:
Где , обращается в ноль только при
(что означает, что знакоопределенная положительная по )
И ее производная в силу (6.1):
Перейдем тогда в область , что является сужением области (6.2) и составим функцию
будет обращаться в ноль только при , что соответственно означает, что знакоопределенная по совокупности .
И ее производная , тогда по теореме об устойчивости по части переменных [2 п.5.1], невозмущенное движение системы (6.1) устойчиво.
2) Теперь рассмотрим асимптотическую устойчивость.
Пусть невозмущенное движение системы (6.1) устойчиво равномерно асимптотически. И выполняется условие (6.4).
Тогда, согласно теореме о существовании функции Ляпунова [2 п.14.2], существует
в области существует , такая, что:
Где принадлежат классу . Что означает, они непрерывные, строго возрастающие и обращаются в ноль только в нуле.
Согласно теореме о линейном приближении[2 п.35.5], невозмущенное движение системы (6.1), вообще говоря, асимптотически устойчиво. Функция Ляпунова в этой теореме , а ее производная . При этом, так как зависит только от можно подобрать такую , что можно записать.
Где принадлежат классу .
существует в области , а существует в области .
Пусть б.о.о.
Тогда в области построим .
Пусть тогда:
Так как:
Пусть вектор составлен из координат и .
Пусть , , и они также принадлежат классу .
И поскольку они строго возрастающие очевидно:
А функцию , подберем из класса так, чтобы она была больше, чем сумма, причем чтобы выполнялось .
Тогда движение будет равномерно асимптотически устойчиво.
3) Случай неустойчивости тривиален. Если невозмущенное движение системы (6.1)
неустойчиво относительно , то решение системы (6.1) очевидно также будет неустойчиво относительно .