6. Уменьшение числа рассматриваемых переменных в относительной устойчивости

Рассматриваем область )

функции непрерывные вместе со своими производными, ограниченные по совокупности переменных в области (6.2)

Функции также разложимы в степенные ряды в области (6.2) по степеням , в которых коэффициенты зависят от совокупности . При этом имеют порядок разложения, начиная со второго.

Здесь постоянные, таковы, что характеристическое уравнение

имеет корни только с отрицательными действительными корнями.

Теорема (6.5): Рассмотрим систему (6.1) с наложенными на нее ограничениями.

Если невозмущенное движение системы устойчиво, устойчиво равномерно асимптотически, или неустойчиво относительно , то невозмущенное движение системы (6.1) будет соответственно устойчиво, устойчиво равномерно асимптотически (при вып. усл. 6.4), или неустойчиво относительно

Замечание:Равномерность асимптотической устойчивости требуется для выполнения теоремы о существовании функции [2 п.14.2]. Равномерность будет выполняться, например, в теореме об асимптотической устойчивости [2 п.6.2].

Доказательство:

1) Рассмотрим для начала устойчивость.

Рассмотрев устойчивость невозмущенного движения системы (6.1) относительно , заметим, что оно будет устойчиво по линейному приближению. [2 п.35.5]

Для этого нужно выполнение следующих условий:

А) Все корни характеристического уравнения (6.3) должны иметь отрицательные действительные части

Б)

Эти условия, очевидно, выполняются.

Значит, в области существует , такая, что:

Где , обращается в ноль только при

(что означает, что знакоопределенная положительная по )

Перейдем тогда в область , что является сужением области (6.2) и составим функцию

будет обращаться в ноль только при , что соответственно означает, что знакоопределенная по совокупности .

И ее производная , тогда по теореме об устойчивости по части переменных [2 п.5.1], невозмущенное движение системы (6.1) устойчиво.

2) Теперь рассмотрим асимптотическую устойчивость.

Пусть невозмущенное движение системы (6.1) устойчиво равномерно асимптотически. И выполняется условие (6.4).

Тогда, согласно теореме о существовании функции Ляпунова [2 п.14.2], существует

в области существует , такая, что:

Где принадлежат классу . Что означает, они непрерывные, строго возрастающие и обращаются в ноль только в нуле.

Согласно теореме о линейном приближении[2 п.35.5], невозмущенное движение системы (6.1), вообще говоря, асимптотически устойчиво. Функция Ляпунова в этой теореме , а ее производная . При этом, так как зависит только от можно подобрать такую , что можно записать.

Где принадлежат классу .

существует в области , а существует в области .

Пусть б.о.о.

Тогда в области построим .

Пусть тогда:

Пусть вектор составлен из координат и .

Пусть и они также принадлежат классу .

И поскольку они строго возрастающие очевидно:

Тогда движение будет равномерно асимптотически устойчиво.

3) Случай неустойчивости тривиален. Если невозмущенное движение системы неустойчиво относительно , то решение системы очевидно также будет неустойчиво относительно .

Пример. Устойчивость механической системы в критическом случае двух пар чисто мнимых корней.

Рассмотрим для примера малые колебания около положения равновесия системы представленной на рисунке.

Тела 1 и 2 с массами прикреплены пружинами с нелинейными характеристиками к неподвижным опорам. Грузы скользят по поверхности с переменным коэффициентом трения скольжения. Тела 1 и 2 имеют валики 4, на которых расположена невесомая балка 5. Предполагаем, что валики свободно вращаются, так что на балку движение грузов не влияет. Посередине отрезка (расстояние между боковыми стенками) к балке прикреплена пружина с линейной характеристикой, на которой подвешен груз 3 массы . Груз 3 движется в жидкости, испытывая архимедову силу и силу сопротивления .

Обозначим силы, и введем обобщенные координаты . Далее найдем дифференциальные уравнения движения методом Лагранжа.

Вводя возможные перемещения по переменным , найдем обобщенные силы:

Для нахождения сил трения нужно определить силу, с которой балка действует на валики. Груз 3 будет таким образом влиять на движения первых двух.

Рассмотрим горизонтальную балку 5. Поскольку она покоится, мы можем рассмотреть ее равновесие (Рис.7.3). Здесь силы силы реакции, с которой действуют валики 4 на балку.

Исходя из этого, и поскольку грузы 1 и 2 не движутся по вертикали, запишем силы реакции поверхности. И разложим выражения в ряд по всем переменным, затем отбросим члены выше второго порядка.

Уравнения с сопряженными корнями получаются из этих, комплексным сопряжением и подстановкой , где .

Дальше изучим устойчивость относительно невозмущенного движения приведенной системы. Приведенные ниже рассуждения основаны на методе, изложенном в главе 5, и потому мы упускаем некоторые выкладки

Нелинейную замену (5.4) будем искать до третьего порядка. Тогда замену будем искать, согласно (5.8), в виде:

Пусть , запишем коэффициенты перед формами при подстановке этой нелинейной замены. Можно приравнять, согласно (5.10), (5.11) и делая очевидные преобразования, следующие коэффициенты

Зная их, можем определить коэффициенты перед третьим порядком. Заметим, что нам не нужны дальнейшие коэффициенты замены, нужно только определить коэффициенты , для составления нового вида системы. Среди коэффициентов перед третьим порядком ненулевыми являются только:

Используя (7.4) мы найдем эти коэффициенты и выразим через изначальные константы, приведенные в (7.2).

Заметим также, что все полученные будут линейными функциями . Так как по система совершает малые колебания, будет мало и коэффициенты будут ограниченными, что означает, что устойчивость невозмущенного движения относительно исходных переменных будет эквивалентна устойчивости относительно новых переменных.

В итоге мы с помощью нелинейной замены перешли к виду:

Более высокие порядки мы отбросили, для изучения устойчивости они не требуются.

Произведем замену, указанную в (5.13):

Тогда, как показано в главе 5, исследование сведется к изучению критического случая двух нулевых корней, то есть получаем следующих два уравнения:

Составим формы из (3.5). будет иметь следующий вид:

И уравнение в пространстве будет задавать следующие поверхности:

Форма запишется в виде

Тогда на поверхностях эта форма принимает следующие значения:

Согласно (7.5) , где - суть некоторые постоянные. Притом равные:

Значит . И форма на поверхностях будет принимать значение следующих знаков:

Отсюда согласно теореме (3.9) получаем, что данная механическая система устойчива асимптотически относительно .