1.Інтеграли, що «не беруться»

Як видно було з диференціального числення, похідна від довільної елементарної функції є також функцією елементарною. Інакше кажучи, операція диференціювання не виводить нас із класу елементарних функцій. Цього не можна сказати про інтегрування -- операцію, обернену до диференціювання. Інтегрування елементарної функції не завжди знову приводить до елементарної функції. Подібне спостерігається й для інших взаємно обернених операцій: сума довільних натуральних чисел є завжди число Натуральне, а різниця -- ні; добуток двох цілих чисел завжди є цілим числом, а частка -- ні i т. п. Строго доведено, що існують елементарні функції, інтеграли від яких не є елементарними функціями. Про такі інтеграли кажуть, що вони не обчислюються в скiнченному вигляді або не 6еруться.

Наприклад, доведено, що «не беруться» такі інтеграли:

інтеграл Пуассона;

інтеграли Френгеля;

інтегральний логарифм;

інтегральний косинус;

інтегральний синус;

еліптичний інтеграл;

(б=0,1,2…) та ряд інших інтегралів.

Вказані інтеграли хоча й існують, але не є елементарними функціями. В подібних випадках первісна являє собою деяку нову, неелементарну функцію, тобто функцію, яка не виражається через скiнченне число арифметичних операцій i суперпозицій над основними елементарними функціями. Неелементарні (або так звані спецiальнi) функції розширюють множину елементарних функцій.

Зрозуміло, що інтеграл, який не обчислювався в класі елементарних функцій, може виявитись таким, що обчислюється в розширеному класі функцій.

Таким чином, інтегрування в порiвняннi з диференціюванням -- операція набагато складніша. Тому треба твердо володіти основними методами інтегрування i чітко знати види функцій, інтеграли від яких цими методами знаходяться. Крім того, виявляється, що треба розрізняти також інтеграли, які «не беруться». Тому в iнженернiй практиці широко користуються довідниками, в яких мстяться докладні таблиці iнтегралiв, що виражаються через елементарні i неелементарні функції.