Інтерполювання функцій

курсовая работа

Вступ

У звязку з розвитком обчислювальної техніки інженерна практика наших днів все частіше і частіше зустрічається з математичними задачами, точний розвязок яких отримати достатньо важко. В таких випадках зазвичай звертаються до тих чи інших наближених обчислень. Ось чому наближені і чисельні методи математичного аналізу отримали за останні роки широкий розвиток і набули виключно важливого значення.

Чисельне розвязання прикладних задач завжди цікавило математиків. Аналіз ускладнених моделей вимагав створення спеціальних, як правило, чисельних або асимптотичних методів розвязання завдань. Назви деяких з таких методів - методи Ньютона, Ейлера, Лобачевського, Гауса, Чебишева, Ерміта, Крилова - свідчать про те, що їх розробкою займалися найвидатніші вчені свого часу.

Чисельні методи є одним з могутніх математичних засобів розвязання задач. Прості чисельні методи ми використовуємо скрізь, наприклад, при знаходженні квадратного кореня на листку паперу. Є завдання, де без достатньо складних чисельних методів не вдалося б отримати відповіді. Класичний приклад -- відкриття Нептуна по аномаліях руху Урану.

Загалом у курсах чисельних методів вивчаються питання побудови, застосування і теоретичного обґрунтування алгоритмів наближеного розвязання різних класів математичних задач. У наш час більшість обчислювальних алгоритмів орієнтовано на використання швидкодіючих ЕОМ, що значно впливає на підбір учбового матеріалу й на характер його викладу. Тільки обчислювальній машині під силу виконувати за короткий час обєм обчислень в мільярди, трильйони і більше операції, які необхідні для вирішення багатьох сучасних завдань.

Варто відмітити деякі особливості предмету чисельних методів. По-перше, для чисельних методів характерна множинність, тобто можливість розвязати одну й ту саму задачу різними методами. По-друге, природничонаукові задачі і швидкий розвиток обчислювальної техніки змушують переоцінювати значення існуючих алгоритмів і призводять до створення нових. По-третє, чисельні методи разом із можливістю отримання результату за прийнятний час не повинні вносити у обчислювальний процес значних похибок.

У даній курсовій роботі розглядається задача про інтерполяцію функції. Якщо задана функція y(x), то це означає, що будь-якому допустимому значенню х ставиться у відповідність значення у. Однак, нерідко виявляється, що знаходження цього значення дуже трудомістке. Наприклад, у(х) може бути визначене як розвязок складної задачі, в якій х виконує роль параметра, або у(х) вимірюється в дорогому експерименті. При цьому можна обчислити невелику таблицю значень функції, але пряме знаходження функції при великому числі значень аргументу буде практично неможливо.

Функція у(х) може брати участь у будь-яких фізико-технічних або чисто математичних розрахунках, де її доводиться багато разів обчислювати. У цьому випадку вигідно замінити функцію у (х) наближеною відомою функцією, тобто підібрати деяку функцію f(x), яка близька у певному сенсі до у(х) і легко обчислюється. Потім при всіх значеннях аргументу вважають, що .

Більша частина класичного чисельного аналізу ґрунтується на наближенні многочленами, оскільки з ними легко працювати. Однак для багатьох цілей використовують і інші класи функцій (див. [2]).

Вибравши вузлові точки і клас функцій, що наближають, ми повинні також вибрати одну певну функцію з цього класу за допомогою деякого критерію - міри наближення або «згоди». Перш, ніж почати обчислення, ми повинні вирішити також, яку точність ми хочемо мати у відповіді і який критерій ми оберемо для вимірювання цієї точності.

Все викладене можна сформулювати у вигляді чотирьох питань:

1. Які вузли ми будемо використовувати?

2. Який клас функцій для наближення будемо використовувати?

3. Який критерій згоди ми застосуємо?

4. Яку точність ми хочемо?

Існує 3 класи або групи функцій, широко застосовуваних у чисельному аналізі. Перша група включає в себе лінійні комбінації функцій 1, х, х2, ..., хn, що збігається з класом усіх многочленів степені n (або менше). Другий клас утворюють функції cos aix, sin aix. Цей клас має відношення до рядів Фурє та інтегралу Фурє. Третя група утворюється функціями e-az. Ці функції зустрічаються в реальних ситуаціях. До них, наприклад, призводять задачі накопичення і розпаду.

Що стосується критерію згоди, то класичним критерієм згоди є «точний збіг у вузлових точках». Цей критерій має перевагу завдяки простоті теорії та виконанню обчислень, але також незручність через ігнорування похибки (шуму), що виникає при вимірюванні або обчисленні значень у вузлових точках. Інший відносно хороший критерій - це «найменші квадрати». Він означає, що сума квадратів відхилень у вузлових точках повинна бути найменшою можливою або, іншими словами, мінімізована. Цей критерій використовує помилкову інформацію, щоб отримати деяке згладжування шуму. Третій критерій повязаний з імям Чебишева. Основна ідея його полягає в тому, щоб зменшити максимальне відхилення до мінімуму. Очевидно, можливі й інші критерії. Більш конкретно відповісти на поставлені 4 питання можна лише виходячи з умов і мети кожної окремої задачі.

Розділ I. Інтерполювання функцій

Делись добром ;)