Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

дипломная работа

Введение

Как известно, многие задачи механики и физики при естественных упрощающих предположениях приводят к рассмотрению одного дифференциального уравнения второго порядка, то есть:

Но в элементарных функциях и даже в квадратурах интегрируются очень немногие классы дифференциальных уравнений. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.

Большинство дифференциальных уравнений второго порядка возможно привести к системе дифференциальных уравнений вида:

(1)

положив , и следовательно, .

Рассмотрение такой системы в ряде аспектов удобнее, чем непосредственное рассмотрение уравнений.

Часто рассматривается тот частный случай системы, когда независимая переменная t в правые части не входит, то есть система имеет вид:

(2)

Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения

(3)

объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.

Впервые задача качественного исследования для простейшего случая систем двух дифференциальных уравнений (2) с полной отчётливостью была поставлена А. Пуанкаре [1] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [2, с. 191-211] и уточнены Дж.Д. Бирксоном [3].

Имеется много работ, в которых динамические системы изучались в предположении, что их частными интегралами являются алгебраические кривые. Толчком к большинству из них послужила работа Н.П. Еругина [4, c. 659], в которой он дал способ построения систем дифференциальных уравнений, имеющих в качестве своего частного интеграла кривую заданного вида.

Знание одного частного интеграла системы (0.2) во многих случаях помогает построить полную качественную картину поведения интегральных кривых в целом. Отметим ряд работ этого характера для систем (0.2), в которых Р (х, у) и Q (x, y) - полиномы второй степени.

Н.Н. Баутиным [5, c. 181-196] и Н.Н. Серебряковой [6, c. 160-166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (2), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В работе Л.А. Черкаса [7, c. 732] такое исследование проведено для уравнения (3) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка.

А.И. Яблонский [8, c. 1752] и В.Ф. Филипцов [9, c. 469] изучали квадратичные системы с предположением, что частными интегралом являлись алгебраические кривые четвёртого порядка.

В данной работе рассматривается система:

и проводится качественное исследование в целом этой системы при условии, что её частными интегралами являются две кривые-первого и второго порядков. Качественное исследование включает в себя нахождение и исследование состояний равновесия, а также определение направлений траекторий в состоянии равновесия, исследование бесконечно-удалённой части плоскости и качественная картина для построенных систем.

При определённых ограничениях на коэффициенты системы и интегралов строятся классы дифференциальных систем с заданными интегралами, при этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой соотношениями.

Работа состоит из двух разделов.

В первом разделе проводится построение квадратичных двумерных стационарных систем с заданными интегралами.

Во втором разделе проводится качественное исследование в целом выделенных в первом разделе классов систем при фиксированных значениях некоторых параметров.

1. Построение квадратичной двумерной стационарной системы

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой второго порядка

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:

В данной работе будем рассматривать систему, в случае когда с12=0, то есть систему:

(1.1)

Пусть система (1.1) в качестве частного интеграла имеет интеграл вида:

(1.2)

где Fk(x, y) - однородный полином от x и y степени k.

В качестве частного интеграла (1.2) возьмём кривую второго порядка вида:

F (x, y)=y2+?xy+?x2+?y+?x+?=0. (1.3)

Согласно [8, c. 1752-1760] для интеграла (1.3) системы (1.1) имеет место соотношение:

(1.4)

где L (x, y)=mx+ny+p, m, n, p-постоянные.

Тогда для частного интеграла (1.3) получим равенство:

(?y+2?x+?) (ax+by+a1 x2+2b1xy)+(2y+?x+?) (cx+dy+2xy+c2y2)=

(y2+?xy+?x2+?y+?x+?) (mx+ny+k).

Будем предполагать, что коэффициенты системы (1.1) b1=b2=c2=1, тогда для интеграла (1.3) получим равенство:

(?y+2?x+?) (ax+by+а1x2+2xy)+(2y+?x+?) (cx+dy+2xy+y2)=

(y2+?xy+?x2+?y+?x+?) (mx+ny+k).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях xmyn слева и справа, получим равенства:

2?а1-m?=0, (1.51)

(4-n)+(2+a1-m)?=0, (1.52)

(3-n)+4-m=0, (1.53)

n=2, (1.54)

(2a-k)?+(a1-m)?+c?=0, (1.55)

2b?+(2-n)?+(a-k)?+2c+d?+(2-m)?=0, (1.56)

b?+2d+(1-n)?-k=0, (1.57)

a?-k?+c?-m?=0, (1.58)

b?-k?+d?-n?=0, (1.59)

k?=0,

??0, так как кривая не проходит через начало координат, значит k=0.

Из равенств (1.51) - (1.54) получим, что

n=2, m=2a1,

?=2 (a1-2), ?=(a1-2)2 (1.6)

Для нахождения коэффициентов ? и ? рассматриваемого интеграла используем равенства (1.55) и (1.57):

?=(a1-2) b+2d,(1.7)

?=?0.

Коэффициенты ?, ?, ?, ?, m, n подставляем в равенство (1.56), получим условие на коэффициенты системы:

(a1-2) a-a1(a1-2) b+c-a1d =0. (1.8)

Для нахождения коэффициента ? используем уравнение (1.58). Получим:

?=. (1.9)

Подставим коэффициенты ?, ?,? и к=0 в равенство (1.59), получим второе условие, связывающее коэффициенты системы:

2 (a1-2)2a2-2a1(a1-2)2ab+2 (a1-2) ac-2a12(a1 -2) bd+2a1cd-2a12d2=0,

которое можно записать в виде:

2 ((a1-2) a-a1(a1-2) b-a1d+c) ((a1-2) a+a1d)=0 (1.10)

Итак, имеет место следующая теорема:

Теорема 1.1 Система

Имеет частный интеграл y2+?xy+?x2+?y+?x+?=0, коэффициенты которого выражаются формулами:

?=2 (a1-2),

?=(a1-2)2,

?=(a1-2) b+2d,

?=?0,

?=,

При условиях, что коэффициенты системы связаны соотношениями:

(a1-2) a-a1(a-2) b+c-a1d =0,

2 ((a1-2) a - a1 (a1-2) b-a1d+c) ((a1-2) a+a1d)=0,

и а1?0, а1?2, с12=0, a1=b1=c2=1.

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

Пусть система (1) наряду с интегралом (1.3) имеет интеграл вида:

mx+ny+p=0. (1.11)

Будем рассматривать теперь систему:

(1.12)

Согласно формуле (1.4), где L (x, y)=Mx+Ny+P, M, N, P-постоянные, получаем равенство:

m (ax+by+a1x2+2xy)+n (cx+dy+2xy+y2)=(mx+ny+p) (Mx+Ny+P).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях xmyn слева и справа, получим равенства:

(a1-M) m=0

(2-N) m+(2-M) n=0 (1.13)

(N-1) n=0

(a-P) m+cn-Mp=0

bm+(d-P) n-Np=0 (1.14)

Pp=0

Предполагаем, что кривая не проходит через начало координат, тогда p?0, значит Р=0.

Из равенств (1.13) получаем, что М=а1, N=1,

n=m, (1.15)

p= () m, m?0.

Подставим эти коэффициенты в уравнение (1.14) и получим ещё одно условие на коэффициенты системы, которое совпадает с условием (1.8), то есть:

(a1-2) a-a1(a1-2) b+c-a1d =0.

Итак, имеет место следующая теорема:

Теорема 1.2 Система

Имеет частный интеграл mx+ny+p=0, коэффициенты которого выражаются формулами

n=m, p= () m, m?0,

При условии, что коэффициенты системы связаны соотношением:

(a1-2) a-a1(a1-2) b+c-a1d =0 и а1?0, а1?2.

Делись добром ;)