Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков
Введение
Как известно, многие задачи механики и физики при естественных упрощающих предположениях приводят к рассмотрению одного дифференциального уравнения второго порядка, то есть:
Но в элементарных функциях и даже в квадратурах интегрируются очень немногие классы дифференциальных уравнений. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.
Большинство дифференциальных уравнений второго порядка возможно привести к системе дифференциальных уравнений вида:
(1)
положив , и следовательно, .
Рассмотрение такой системы в ряде аспектов удобнее, чем непосредственное рассмотрение уравнений.
Часто рассматривается тот частный случай системы, когда независимая переменная t в правые части не входит, то есть система имеет вид:
(2)
Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения
(3)
объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.
Впервые задача качественного исследования для простейшего случая систем двух дифференциальных уравнений (2) с полной отчётливостью была поставлена А. Пуанкаре [1] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [2, с. 191-211] и уточнены Дж.Д. Бирксоном [3].
Имеется много работ, в которых динамические системы изучались в предположении, что их частными интегралами являются алгебраические кривые. Толчком к большинству из них послужила работа Н.П. Еругина [4, c. 659], в которой он дал способ построения систем дифференциальных уравнений, имеющих в качестве своего частного интеграла кривую заданного вида.
Знание одного частного интеграла системы (0.2) во многих случаях помогает построить полную качественную картину поведения интегральных кривых в целом. Отметим ряд работ этого характера для систем (0.2), в которых Р (х, у) и Q (x, y) - полиномы второй степени.
Н.Н. Баутиным [5, c. 181-196] и Н.Н. Серебряковой [6, c. 160-166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (2), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В работе Л.А. Черкаса [7, c. 732] такое исследование проведено для уравнения (3) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка.
А.И. Яблонский [8, c. 1752] и В.Ф. Филипцов [9, c. 469] изучали квадратичные системы с предположением, что частными интегралом являлись алгебраические кривые четвёртого порядка.
В данной работе рассматривается система:
и проводится качественное исследование в целом этой системы при условии, что её частными интегралами являются две кривые-первого и второго порядков. Качественное исследование включает в себя нахождение и исследование состояний равновесия, а также определение направлений траекторий в состоянии равновесия, исследование бесконечно-удалённой части плоскости и качественная картина для построенных систем.
При определённых ограничениях на коэффициенты системы и интегралов строятся классы дифференциальных систем с заданными интегралами, при этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой соотношениями.
Работа состоит из двух разделов.
В первом разделе проводится построение квадратичных двумерных стационарных систем с заданными интегралами.
Во втором разделе проводится качественное исследование в целом выделенных в первом разделе классов систем при фиксированных значениях некоторых параметров.
1. Построение квадратичной двумерной стационарной системы
1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой второго порядка
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:
В данной работе будем рассматривать систему, в случае когда с1=а2=0, то есть систему:
(1.1)
Пусть система (1.1) в качестве частного интеграла имеет интеграл вида:
(1.2)
где Fk(x, y) - однородный полином от x и y степени k.
В качестве частного интеграла (1.2) возьмём кривую второго порядка вида:
F (x, y)=y2+?xy+?x2+?y+?x+?=0. (1.3)
Согласно [8, c. 1752-1760] для интеграла (1.3) системы (1.1) имеет место соотношение:
(1.4)
где L (x, y)=mx+ny+p, m, n, p-постоянные.
Тогда для частного интеграла (1.3) получим равенство:
(?y+2?x+?) (ax+by+a1 x2+2b1xy)+(2y+?x+?) (cx+dy+2xy+c2y2)=
(y2+?xy+?x2+?y+?x+?) (mx+ny+k).
Будем предполагать, что коэффициенты системы (1.1) b1=b2=c2=1, тогда для интеграла (1.3) получим равенство:
(?y+2?x+?) (ax+by+а1x2+2xy)+(2y+?x+?) (cx+dy+2xy+y2)=
(y2+?xy+?x2+?y+?x+?) (mx+ny+k).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях xmyn слева и справа, получим равенства:
2?а1-m?=0, (1.51)
(4-n)+(2+a1-m)?=0, (1.52)
(3-n)+4-m=0, (1.53)
n=2, (1.54)
(2a-k)?+(a1-m)?+c?=0, (1.55)
2b?+(2-n)?+(a-k)?+2c+d?+(2-m)?=0, (1.56)
b?+2d+(1-n)?-k=0, (1.57)
a?-k?+c?-m?=0, (1.58)
b?-k?+d?-n?=0, (1.59)
k?=0,
??0, так как кривая не проходит через начало координат, значит k=0.
Из равенств (1.51) - (1.54) получим, что
n=2, m=2a1,
?=2 (a1-2), ?=(a1-2)2 (1.6)
Для нахождения коэффициентов ? и ? рассматриваемого интеграла используем равенства (1.55) и (1.57):
?=(a1-2) b+2d,(1.7)
?=?0.
Коэффициенты ?, ?, ?, ?, m, n подставляем в равенство (1.56), получим условие на коэффициенты системы:
(a1-2) a-a1(a1-2) b+c-a1d =0. (1.8)
Для нахождения коэффициента ? используем уравнение (1.58). Получим:
?=. (1.9)
Подставим коэффициенты ?, ?,? и к=0 в равенство (1.59), получим второе условие, связывающее коэффициенты системы:
2 (a1-2)2a2-2a1(a1-2)2ab+2 (a1-2) ac-2a12(a1 -2) bd+2a1cd-2a12d2=0,
которое можно записать в виде:
2 ((a1-2) a-a1(a1-2) b-a1d+c) ((a1-2) a+a1d)=0 (1.10)
Итак, имеет место следующая теорема:
Теорема 1.1 Система
Имеет частный интеграл y2+?xy+?x2+?y+?x+?=0, коэффициенты которого выражаются формулами:
?=2 (a1-2),
?=(a1-2)2,
?=(a1-2) b+2d,
?=?0,
?=,
При условиях, что коэффициенты системы связаны соотношениями:
(a1-2) a-a1(a-2) b+c-a1d =0,
2 ((a1-2) a - a1 (a1-2) b-a1d+c) ((a1-2) a+a1d)=0,
и а1?0, а1?2, с1=а2=0, a1=b1=c2=1.
1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка
Пусть система (1) наряду с интегралом (1.3) имеет интеграл вида:
mx+ny+p=0. (1.11)
Будем рассматривать теперь систему:
(1.12)
Согласно формуле (1.4), где L (x, y)=Mx+Ny+P, M, N, P-постоянные, получаем равенство:
m (ax+by+a1x2+2xy)+n (cx+dy+2xy+y2)=(mx+ny+p) (Mx+Ny+P).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях xmyn слева и справа, получим равенства:
(a1-M) m=0
(2-N) m+(2-M) n=0 (1.13)
(N-1) n=0
(a-P) m+cn-Mp=0
bm+(d-P) n-Np=0 (1.14)
Pp=0
Предполагаем, что кривая не проходит через начало координат, тогда p?0, значит Р=0.
Из равенств (1.13) получаем, что М=а1, N=1,
n=m, (1.15)
p= () m, m?0.
Подставим эти коэффициенты в уравнение (1.14) и получим ещё одно условие на коэффициенты системы, которое совпадает с условием (1.8), то есть:
(a1-2) a-a1(a1-2) b+c-a1d =0.
Итак, имеет место следующая теорема:
Теорема 1.2 Система
Имеет частный интеграл mx+ny+p=0, коэффициенты которого выражаются формулами
n=m, p= () m, m?0,
При условии, что коэффициенты системы связаны соотношением:
(a1-2) a-a1(a1-2) b+c-a1d =0 и а1?0, а1?2.