Квадратные уравнения и уравнения высших порядков

реферат

2.4 Квадратные уравнения частного характера

1) Если a + b + c = 0 в уравнении ax? + bx + c = 0, то

х1=1, а х2 = .

Доказательство:

В уравнении ax? + bx + c = 0, его корни

x1,2 = (1).

Представим b из равенства a + b + c = 0

Подставим это выражение в формулу (1):

х1,2=

=

Если рассмотрим по отдельности два корня уравнения, получим:

1) х1=

2) х2=

Отсюда следует: х1=1, а х2 = .

1. Пример:

2х? - 3х + 1 = 0

a = 2, b = -3, c = 1.

a + b + c = 0, следовательно

х1 = 1

х2 = ?

2. Пример:

418х? - 1254х + 836 = 0

Этот пример очень тяжело решить через дискриминант, но, зная выше приведенную формулу его с легкостью можно решить.

a = 418, b = -1254, c = 836.

х1 = 1 х2 = 2

2) Если a - b + c = 0, в уравнении ax? + bx + c = 0, то:

х1=-1, а х2 =- .

Доказательство:

Рассмотрим уравнение ax? + bx + c = 0, из него следует, что:

x1,2 = (2).

Представим b из равенства a - b + c = 0

b = a + c, подставим в формулу (2):

x1,2=

=

Получаем два выражения:

1) х1=

2) х2=

Эта формула похожа на предыдущую, но она тоже важна, т.к. часто встречаются примеры такого типа.

1) Пример:

2х? + 3х + 1 = 0

a = 2, b = 3, c = 1.

a - b + c = 0, следовательно

х1 = -1

х2 = -1/2

2) Пример:

Ответ: x1 = -1; х2 = -

3) Метод “переброски”

Корни квадратных уравнений y? + by + аc = 0 и ax? + bx + c = 0 связанны соотношениями:

х1 = и х2 =

Доказательство:

а) Рассмотрим уравнение ax? + bx + c = 0

x1,2 = =

б) Рассмотрим уравнение y? + by + аc = 0

y1,2 =

Заметим, что дискриминанты у обоих решений равны, сравним корни этих двух уравнений. Они отличаются друг от друга на старший коэффициент, корни первого уравнения меньше корней второго на а. Используя теорему Виета и выше приведенное правило, нетрудно решать разнообразные уравнения.

Пример:

Имеем произвольное квадратное уравнение

10х? - 11х + 3 = 0

Преобразуем это уравнение по приведенному правилу

y? - 11y + 30 = 0

Получим приведенное квадратное уравнение, которое можно достаточно легко решить с помощью теоремы Виета.

Пусть y1 и y2 корни уравнения y? - 11y + 30 = 0

y1y2 = 30 y1 = 6

y1 + y2 = 11 y2 = 5

Зная, что корни этих уравнений отличны друг от друга на а, то

х1 = 6/10 = 0,6

х2 = 5/10 = 0,5

В некоторых случаях удобно решать сначала не данное уравнение ax? + bx + c = 0, а приведенное y? + by + аc = 0, которое получается из данного «переброской» коэффициента а, а затем разделить найденный корни на а для нахождения исходного уравнения.

Делись добром ;)