Квадратные уравнения и уравнения высших порядков
2.4 Квадратные уравнения частного характера
1) Если a + b + c = 0 в уравнении ax? + bx + c = 0, то
х1=1, а х2 = .
Доказательство:
В уравнении ax? + bx + c = 0, его корни
x1,2 = (1).
Представим b из равенства a + b + c = 0
Подставим это выражение в формулу (1):
х1,2=
=
Если рассмотрим по отдельности два корня уравнения, получим:
1) х1=
2) х2=
Отсюда следует: х1=1, а х2 = .
1. Пример:
2х? - 3х + 1 = 0
a = 2, b = -3, c = 1.
a + b + c = 0, следовательно
х1 = 1
х2 = ?
2. Пример:
418х? - 1254х + 836 = 0
Этот пример очень тяжело решить через дискриминант, но, зная выше приведенную формулу его с легкостью можно решить.
a = 418, b = -1254, c = 836.
х1 = 1 х2 = 2
2) Если a - b + c = 0, в уравнении ax? + bx + c = 0, то:
х1=-1, а х2 =- .
Доказательство:
Рассмотрим уравнение ax? + bx + c = 0, из него следует, что:
x1,2 = (2).
Представим b из равенства a - b + c = 0
b = a + c, подставим в формулу (2):
x1,2=
=
Получаем два выражения:
1) х1=
2) х2=
Эта формула похожа на предыдущую, но она тоже важна, т.к. часто встречаются примеры такого типа.
1) Пример:
2х? + 3х + 1 = 0
a = 2, b = 3, c = 1.
a - b + c = 0, следовательно
х1 = -1
х2 = -1/2
2) Пример:
Ответ: x1 = -1; х2 = -
3) Метод “переброски”
Корни квадратных уравнений y? + by + аc = 0 и ax? + bx + c = 0 связанны соотношениями:
х1 = и х2 =
Доказательство:
а) Рассмотрим уравнение ax? + bx + c = 0
x1,2 = =
б) Рассмотрим уравнение y? + by + аc = 0
y1,2 =
Заметим, что дискриминанты у обоих решений равны, сравним корни этих двух уравнений. Они отличаются друг от друга на старший коэффициент, корни первого уравнения меньше корней второго на а. Используя теорему Виета и выше приведенное правило, нетрудно решать разнообразные уравнения.
Пример:
Имеем произвольное квадратное уравнение
10х? - 11х + 3 = 0
Преобразуем это уравнение по приведенному правилу
y? - 11y + 30 = 0
Получим приведенное квадратное уравнение, которое можно достаточно легко решить с помощью теоремы Виета.
Пусть y1 и y2 корни уравнения y? - 11y + 30 = 0
y1y2 = 30 y1 = 6
y1 + y2 = 11 y2 = 5
Зная, что корни этих уравнений отличны друг от друга на а, то
х1 = 6/10 = 0,6
х2 = 5/10 = 0,5
В некоторых случаях удобно решать сначала не данное уравнение ax? + bx + c = 0, а приведенное y? + by + аc = 0, которое получается из данного «переброской» коэффициента а, а затем разделить найденный корни на а для нахождения исходного уравнения.