§2. Функция и(x ,ч), её функциональное уравнение

Функциональное уравнение будет получено для L(s, ч)с примитивным характером ч; тем самым и в силу леммы 3 L(s, ч) будет продолжена на всю s-плоскость при любом ч. Вид функционального уравнения зависит от того, четным или нечетным является характер ч, т. е. ч(-1)=+1 или ч(-1)=-1

Прежде чем вывести функциональное уравнение для L(s, ч) и продолжить L(s, ч) на всю s-плоскость, докажем вспомогательное утверждение, аналогичное функциональному уравнению для и(х) (см. лемму 3, IV).

Лемма 2.1. Пусть ч -- примитивный характер по модулю k. Для четного характера ч определим функцию и (x, ч) равенством

а для нечетного характера х определим функцию и₁(x, ч) равенством

Тогда для введенных функций и (x, ч) и и₁(x, ч) справедливы следующие соотношения (функциональные уравнения):

где ф(ч) -- сумма Гаусса.

Доказательство. Воспользуемся доказанным в лемме 3, IV равенством

где x > 0, б -- вещественное.

Имеем

что доказывает равенство (6).

Чтобы доказать равенство (7), продифференцируем почленно (8) и заменим x на х/к, б на m/k (указанные ряды можно почленно дифференцировать, так как получающиеся после этого ряды равномерно сходятся). Получим

Отсюда, как и выше, выводим

Лемма доказана.