logo
Квадратные уравнения и уравнения высших порядков

2.5 Формула Виета для многочленов (уравнений) высших степеней

Формулы, выведенные Виетом для квадратных уравнений, верны и для многочленов высших степеней.

Пусть многочлен

P(x) = a0xn + a1xn-1--- + … +an

Имеет n различных корней x1 , x2 …, xn.

В этом случае он имеет разложение на множители вида:

a0xn + a1xn-1 +…+ an = a0( x - x1)( x - x2)…(x - xn)

Разделим обе части этого равенства на a0 ? 0 и раскроем в первой части скобки. Получим равенство:

xn + ()xn-1 + … + () = xn - (x1 + x2 + … + xn) xn-1 + ( x1x2 + x2x3 + … + xn-1xn)xn-2 + … +(-1)n x1x2 … xn

Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняется равенство

x1 + x2 + … + xn = -

x1x2 + x2x3 + … + xn-1xn =

x1x2 … xn = (-1)n

Например, для многочленов третей степени

a0x? + a1x? + a2x + a3

Имеем тождества

x1 + x2 + x3 = -

x1x2 + x1x3 + x2x3 =

x1x2x3 = -

Как и для квадратных уравнений, эту формулу называют формулами Виета. Левые части этих формул являются симметрическими многочленами от корней x1 , x2 …, xn данного уравнения, а правые части выражаются через коэффициент многочлена.