2. Классификация уравнений гиперболического типа в контексте классификации уравнений математической физики
Уравнения математической физики, дифференциальные уравнения с частными производными, а также некоторые родственные уравнения иных типов (интегральные, интегро-дифференциальные и т.д.), к которым приводит математический анализ физических явлений. Для теории уравнений математической физики характерна постановка задач в таком виде, как это необходимо при исследовании физического явления. Круг уравнений математической физики с расширением области применения математического анализа также неуклонно расширяется. При систематизации полученных результатов появляется необходимость включить в теорию У. м. ф. уравнения и задачи более общего вида, чем те, которые появляются при анализе конкретных явлений; однако и для таких уравнений и задач характерно то, что их свойства допускают более или менее наглядное физическое истолкование.
Классификация уравнений математической физики. Значительная часть уравнений математической физики составляют линейные уравнения с частными производными 2-го порядка общего вида:
, (5)
где все коэффициенты aij (aij = aij), bi, с и правая часть f представляют собой заданные функции независимых переменных x1, x2,.., хп (n і 2), а u - искомая функция тех же аргументов. Свойства решений уравнения (5) существенно зависят от знаков корней (алгебраического относительно l) уравнения
= 0, (6)
и поэтому классификация уравнений (5) проводится в соответствии с этими знаками. Если все n корней уравнения (6) имеют одинаковый знак, то говорят, что уравнение (5) принадлежит к эллиптическому типу; если один из корней имеет знак, противоположный знаку остальных n - 1 корней, - к гиперболическому типу; наконец, если уравнение (6) имеет один нулевой корень, а прочие корни одинакового знака, - к параболическому типу. Если коэффициенты aij постоянны, то уравнение (5) принадлежит к определенному типу независимо от значений аргументов; если же эти коэффициенты зависят от x1,.., хп, то и корни уравнения (6) зависят от x1,.., хп, а потому уравнение (5) может принадлежать к разным типам при различных значениях аргументов. В последнем случае (уравнение смешанного типа) изучаемая область изменения аргументов состоит из зон, в которых тип уравнения (5) сохраняется. Если корень уравнения (6), переходя от положительных значений к отрицательным, обращается в нуль, то между зонами эллиптичности и гиперболичности расположены зоны параболичности (надо отметить, что и в ряде др. отношений параболического уравнения занимают промежуточное положение между эллиптическими и гиперболическими).
Для линейных уравнений с частными производными выше 2-го порядка и для систем уравнений с несколькими искомыми функциями классификация более сложна.
Основные примеры уравнений математической физики.
- Введение
- 1. Гиперболические уравнения как подкласс дифференциальных уравнений в частных производных. Классификация уравнений в частных производных
- 2. Классификация уравнений гиперболического типа в контексте классификации уравнений математической физики
- 2.1 Волновое уравнение
- 2.2 Уравнение теплопроводности
- 2.3 Интегро-дифференциальные уравнения
- 3. Применение различных методов решения в зависимости от видов гиперболических уравнений
- 3.1 Явная разностная схема
- 3.2 Неявная разностная схема
- Заключение
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- 1.1.1. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных
- Тема №8 Решение дифференциальных уравнений с частными производными.
- П. 1. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными
- Типы дифференциальных уравнений в частных производных
- 18.3. Классификация уравнений математической физики (линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка)
- Раздел VII. Дифференциальные уравнения в частных производных Лекция 4. Методы решения дифференциальных уравнений в частных производных