ГЛАВА 1. ДЕЛИМОСТЬ В КОЛЬЦЕ ЧИСЕЛ ГАУССА.
Рассмотрим множество комплексных чисел. По аналогии с множеством действительных чисел в нем можно выделить некоторое подмножество целых чисел. Множество чисел вида , где назовем целыми комплексными числами или гауссовыми числами. Нетрудно проверить, что для этого множества выполняются аксиомы кольца. Таким образом, это множество комплексных чисел является кольцом и называется кольцом целых чисел Гаусса. Обозначим его как , так как оно является расширением кольца элементом: .
Поскольку кольцо гауссовых чисел является подмножеством комплексных чисел, то для него справедливы некоторые определения и свойства комплексных чисел. Так, например, каждому гауссовому числу соответствует вектор с началом в точке и с концом в . Следовательно, модуль гауссова числа есть . Заметим, что в рассматриваемом множестве, подмодульное выражение всегда есть число неотрицательное целое. Поэтому в некоторых случаях удобнее пользоваться нормой, то есть квадратом модуля. Таким образом . Можно выделить следующие свойства нормы. Для любых гауссовых чисел справедливо:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Здесь и далее -- множество натуральных чисел, то есть целых положительных чисел.
Справедливость данных свойств тривиальным образом проверяется с помощью модуля. Попутно заметим, что (2), (3), (5) справедливы и для любых комплексных чисел.
Кольцо гауссовых чисел -- это коммутативное кольцо без делителей 0, так как оно является подкольцом поля комплексных чисел. Отсюда следует мультипликативная сократимость кольца , то есть
(6)
- 2.2. Расположенные кольца и их общие свойства. Расположенность кольца целых чисел
- 2.1. Кольцо целых чисел. Определения и свойства
- Норма в кольце гауссовых целых чисел
- 4.1. Арифметика в кольце целых чисел z и кольце вычетов Zm
- Упорядоченность кольца целых чисел.
- Строение кольца целых чисел.
- Кольцо целых чисел.
- Архимедовская расположенность кольца целых чисел.
- 1.Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком.
- 26.Кольцо целых алгебраических чисел. Теорема (с док-вом).