I. Введение.
Алгебраические уравнения с одним неизвестным и связанные с ними вопросы в нахождении решений относятся к числу наиболее важных в школьной программе. В общем виде в средней школе изучаются лишь уравнения 1-ой степени (линейные) и уравнения 2-ой степени (квадратные), поскольку для таких уравнений существуют простые формулы, выражающие корни уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней.
Именно, если дано:
(?) Линейное уравнение ax+b=0, где а?0, то x=-b/a - единственный корень;
(?) Квадратное уравнение ax+bx+c=0, где a,b,c - действительные числа, a?0, то x=-b±vb•b-4ac/2a; при этом число корней зависит от величины D = b2 - 4ac, называемой дискриминантом квадратного уравнения, а именно:
При D>0 - два действительных корня, D=0 - один двукратный корень (или, что то же, два совпадающих корня), D<0 - нет действительных корней.
Из уравнений более высоких степеней в школьном курсе алгебры рассматриваются лишь некоторые частные их типы - трехчленные (например, биквадратные), симметрические, … Однако никаких методов для решения произвольных уравнений 3-ей и 4-ой степени (хотя соответствующие формулы известны), в школьной алгебре не дается, т.к. эти методы существенно опираются на теорию комплексных чисел.
Цель данного реферата состоит в том, чтобы ознакомить учащихся средних школ с важнейшим и новым для них математическим понятием - понятием комплексного числа, а также показать, насколько эффективно его применение при решении некоторых задач, в том числе и в первую очередь, при решении кубичных уравнений.
- I. Введение.
- II. Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики.
- III/ Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл.
- 1. Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами.
- 2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы.
- 3. Операция сопряжения и ее свойства.
- 4. Извлечение корней.
- 5. Геометрический смысл алгебраических операций.
- IV. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.
- 1. Формула Кардано.
- 2. Метод Феррари для уравнения 4-ой степени.
- V. Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованием комплексных чисел.