1.2 Задача 1

Исследовать на непрерывность функцию, заданную на отрезке [0,1] следующими равенствами:

1. при ;

2. в середине смежного интервала;

3. Для точек смежного интервала ( поэтому, , ) функция определяется как линейная на и на .

Решение. На первый взгляд рассматриваемая функция является непрерывной, кажется, что мы просто “строим линейные крышки”, “затыкая” промежутки в множестве Кантора. Левая картинка только усиливает эту мысль, но правая дает понять, что это не так.

Действительно, на смежных интервалах функция непрерывна. Поэтому остается исследовать ее на пределы в точках множества Кантора. Любу. Точку множества Кантора можно получить как предел точек множества Кантора (т.к. в любой окрестности их нечетное число), так и как предел середин смежных интервалов (т.к. в любой окрестности найдется смежный интервал). Далее, так как предел по точкам из множества Кантора равен нулю, а по серединам смежных интервалов - единице, то получаем, что в точках множества кантора функция терпит разрыв.

Отметим однако, что в точках множества кантора первого рода (за исключением точек 1 и 0) со стороны смежного интервала предел функции существует и равен 0. Поэтому мы можем только говорить об односторонней непрерывности в данных точках.