Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями
2.2.2 Случай
Из системы (43) исключаем и получаем уравнение для
Уравнение имеет подвижные критические особые точки, так как
Пусть . (5) С помощью линейного преобразования систему (4) приводим к системе вида Где Поэтому можем в (4), при , считать и рассматривать систему вида (6) Найдем необходимые и достаточные условия...
Пусть . (8) Тогда из (7) имеем Откуда где - произвольные постоянные. Для однозначности компоненты необходимо требовать (9) Учитывая условия (8), (9), получаем систему (10) Из системы (10) исключим...
Система (4) примет вид (38) С помощью линейного преобразования система (38) приводится к системе, у которой . Поэтому будем рассматривать систему вида (39) Исключая и из системы (39)...
Пусть . Тогда из (43) имеем Откуда где - произвольные постоянные. Для однозначности компоненты необходимо требовать . Рассмотрим случай...
При условии (49,а) уравнение (48) перепишется в виде Для отсутствия подвижных критических особых точек у решений этого уравнения надо требовать, чтобы . Это условие выполняется, если или . Таким образом имеем (50,а) Или (50,б) Покажем...
Если , то уравнение (48) имеет подвижные критические особые точки. Если , то уравнение (48) перепишется в виде (53) Где Так как , то . Таким образом, уравнение (53) перепишется в виде (54) Полагая в (54) , получим уравнение (55) Уравнение (55)...
Из системы (43) исключаем и получаем уравнение для Уравнение имеет подвижные критические особые точки...
Теорема. Пусть для функции в прямоугольнике существует двойной интеграл . Пусть, далее, для каждого из отрезка существует определенный интеграл . Тогда существует интеграл (он называется повторным) и справедливо равенство Пример...
Теорема. Пусть функция определена в области , где и - непрерывные функции, для . Пусть также существует двойной интеграл и для каждого из отрезка существует определенный интеграл...
...
Рассмотрим частный случай, когда (3.1) где P(x,y) и Q(x,y) - ряды по целым неотрицательным степеням x и y с вещественными коэффициентами, сходящиеся в некоторой фиксированной окрестности Q начала координат. P(0,0=Q(0,0)=0, O(0,0) - изолированная особая точка...
Иногда требуется найти многочлен, наименее уклоняющийся от нуля на заданном отрезке [a, b] среди всех многочленов степени n со старшим коэффициентом 1. Эта задача сводится к предыдущей с помощью замены переводящий отрезок в отрезок...
Вся построенная выше теория исходила из предположения, что заданная функция определена для всех вещественных значений x и притом имеет период . Между тем чаще всего приходится иметь дело с непериодической функцией f(x)...
Предположим, что функция задана в промежутке произвольной длины и кусочно-дифференцируема в нем. Если прибегнуть к подстановке , то получится функция от в промежутке , тоже кусочно-дифференцируемая...
Если заданная в промежутке функция будет нечетной, то очевидно В этом легко убедится: . Таким же путем устанавливается, что в случае четной функции : . Пусть теперь будет кусочно-дифференцируемая в промежутке четная функция...