Введение

Есть много неверных утверждений, кажущихся на первый взгляд верными. Для опровержения такого рода утверждений нужно построить соответствующий пример; такие примеры называют контрпримерами. Например: "Истинно ли утверждение S ?"--это, пожалуй, наиболее типичный для математики вопрос, когда утверждение имеет вид: "Каждый элемент класса А принадлежит также классу В: А В". Доказать, что подобное утверждение истинно, -- значит доказать включение А В. Доказать, что оно ложно,-- значит найти элемент класса А, не принадлежащий классу В, иными словами, привести контрпример. Например, если утверждение S таково: "Каждая непрерывная функция дифференцируема в некоторой точке", то множества А и В состоят соответственно из всех непрерывных функций и всех функций, дифференцируемых в некоторых точках. Известный же пример Вейер-штрасса непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции f является контрпримером для включения А В, поскольку f является элементом А, не принадлежащим В. Рискуя впасть в чрезмерное упрощение, можно сказать, что математика (за исключением определений, утверждений и выкладок) состоит из двух частей -- доказательств и контрпримеров, а математические открытия состоят в нахождении доказательств и построении контрпримеров. Большая часть математических книг посвящена доказательству верных утверждений.

Вообще говоря, примеры в математике бывают двух типов -- иллюстративные примеры и контрпримеры. Первые показывают, почему то или иное утверждение имеет смысл, а вторые -- почему то или иное утверждение лишено смысла. Можно утверждать, что любой пример является в то же время контрпримером для некоторого утверждения, а именно для утверждения, что такой пример невозможен. Не желая придавать термину контрпример столь универсальный смысл, но допускаем, что его значение достаточно широко, чтобы включить в себя все примеры, роль которых не ограничивается иллюстрацией верных теорем. Так, например, полином как пример непрерывной функции не есть контрпример, но полином как пример неограниченной или непериодической функции является контрпримером. Подобным же образом класс всех монотонных функций на ограниченном замкнутом интервале как класс интегрируемых функций не есть контрпример, однако этот же самый класс как пример функционального, но не векторного пространства является контрпримером.