Вступ
Безліч математиків доклали багато зусиль, щоб знайти формули для розвязання рівнянь високих степенів. Формули для розвязання рівнянь третього і четвертого степеня були знайдені в 16 столітті. Після цього почались пошуки формул, які б виражали корені рівнянь пятої і вище степенів, але ці пошуки виявились безуспішними.
Центральним в алгебрі многочленів виявляється питання не про практичний пошук коренів многочлена, а питання про їх існування. Відомо, що існують квадратні рівняння з дійсними коефіцієнтами, які не мають дійсних коренів. А чи не знайдеться таке рівняння пятого чи більш високого степеня, яке не має жодного кореня навіть серед комплексних чисел, і чи не доведеться для пошуку коренів даних рівнянь переходити від комплексних чисел до більш широкого запасу чисел? Відповідь на це питання дає важлива теорема (основна теорема алгебри), яка стверджує, що будь-яке рівняння з будь-якими числовими коефіцієнтами, не лише з дійсними, але і з комплексними, має хоча б один комплексний корінь.
Твердження, близьке до основної теореми алгебри висловили ще в 17 столітті Жерар (1629) і Декарт (1637). Воно полягало в тому, що кожне алгебраїчне рівняння -го степеня має коренів; якщо ж дійсних коренів менше , при цьому решту коренів слід вважати «уявними». При цьому термін «уявний» не збігався з сучасним поняттям комплексного числа, а означав просто, що потрібну кількість коренів можна собі уявити існуючою.
Більш обережно формулював основну теорему алгебри Ньютон (1707), але у 18 столітті Ейлер чітко сформулював основну теорему алгебри.
Перша спроба доведення теореми належить французькому математику Даламберу. Але були інші спроби доведення основної теореми алгебри видатними вченими, а саме, Ейлером, Лагранжем.
Прийнято вважати, що перше строге доведення основної теореми дав Гаусс у 1799. Однак з точки сучасного вчення про неперервність це доведення вимагає деяких доповнень і, крім того, воно стосується лише многочленів з дійсними коефіцієнтами. Але основний хід цього доведення цілком правильний.
Однією з найважливіших тем алгебри є : вивчення рівняння з однією невідомою довільного степеня та способи знаходження коренів таких рівнянь. Метою курсової роботи є розширення уявлення про корені многочленів довільного степеня.
- Вступ
- 1. Основна теорема алгебри
- 1.1 Доведення основної теореми алгебри
- 1.2 Наслідки з основної теореми алгебри. Формули Вієта
- 1.3 Многочлени з дійсними коефіцієнтами
- 2. Межі дійсних коренів
- 2.1 Спосіб Ньютона встановлення меж дійсних коренів алгебраїчних рівнянь
- 2.2 Число дійсних коренів
- 2.3 Відокремлення коренів методом Штурма
- 3. Наближені методи обчислення коренів
- 3.1 Методи відокремлення коренів многочлена
- 3.2 Метод Лобачевського
- 3.2.1 Випадок дійсних коренів
- 3.2.2 Випадок комплексних коренів
- 4. Приклади розвязування задач
- Висновки